Question

Tres partículas de masas 3m, 2m y 1m con rapideces 3v, 2v y 1v, respectivamente, confluyen en un punto como se muestra la figura 9. La partícula 1 se mueve con una velocidad paralela al eje x, mientras que las partículas 2 y 3 se mueven con velocidades en las direcciones determinadas por los ángulos θ_2 y θ_3, respectivamente (ver figura 9). Después de la colisión las tres partículas permanecen unidas.

Determine analíticamente y en función de las variables suministradas en el enunciado

El momento total antes del choque, expresado vectorialmente en términos de los vectores unitarios i y j.
La velocidad final, expresada vectorialmente en términos de los vectores unitarios i y j, de las partículas unidas después del choque.

Para el conjunto de valores m=4,70 kg, v=6,30 m/s, θ_2=29,0 grados y θ_3=46,0 grados determine numéricamente:

los resultados obtenidos los incisos a) y b).
La dirección de la velocidad final de las masas unidas.

Answer 1

En esta situación las partículas chocan plásticamente, es decir permanecen unidas después de la colisión, como en este evento no intervienen fuerzas externas, se conserva antes y después del mismo el momento lineal.

A) El momento lineal inicial total es:

$P_{TOTi}=P_{1i}+P_{2i}+P_{3i}=3m3v+2m2v+mv$

Y las velocidades iniciales de cada partícula son:

$v_{1x}=3v.cos(0\°)=3v\\v_{1y}=3v.sen(0\°)=0\\\\v_{2x}=2v.cos(\theta_2)=3v\\v_{2y}=2v.sen(\theta_2)=0$

Como la velocidad de la tercera partícula está en el tercer cuadrante, y el ángulo $\theta_3$ está tomado respecto a la vertical queda:

$\theta'_3=270\°-\theta_3$

Tenemos:

$v_{3x}=v.cos(\theta_3')=v.cos(270\°-\theta_3)\\v_{3y}=v.sen(\theta_3')=v.sen(270\°-\theta_3)$

El momento lineal inicial queda:

$P_{TOTi}=[3mv_{1x}+2mv_{2x}+mv_{3x}]i+[2mv_{2y}+mv_{3y}]j\\\\P_{TOTi}=[3m.3v+2m.2v.cos(\theta_2)+mv.cos(270\°-\theta_3)]i+[2m.2v.sen(\theta_2)+mv.sen(270\°-\theta_3)]j$

Reagrupando términos:

$P_{TOTi}=mv[(9+4cos(\theta_2)+cos(270\°-\theta_3))i+(4sen(\theta_2)+sen(270\°-\theta_3))j]$

Con lo que esa es la expresión genérica para el momento lineal antes del choque.

B) Como el momento lineal se conserva, al final del choque este es:

$P_f=m_fv_f=(3m+2m+m)v_f=6mv_f$

Y es igual al momento inicial:

$mv[(9+4cos(\theta_2)+cos(270\°-\theta_3))i+(4sen(\theta_2)+sen(270\°-\theta_3))j]=6mv_f\\\\v[(9+4cos(\theta_2)+cos(270\°-\theta_3))i+(4sen(\theta_2)+sen(270\°-\theta_3))j]=6v_f$

Queda para la velocidad final:

$v_f=\frac{v}{6}[(9+4cos(\theta_2)+cos(270\°-\theta_3))i+(4sen(\theta_2)+sen(270\°-\theta_3))j]$

De esta forma concluimos que tanto el momento lineal total inicial como la velocidad final tienen en común el vector

$v=[(9+4cos(\theta_2)+cos(270\°-\theta_3))i+(4sen(\theta_2)+sen(270\°-\theta_3))j]$

Cuya dirección es la dirección de la velocidad final.

A bis) Ahora en las ecuaciones halladas reemplazamos por el siguiente conjunto de datos:

$m=4,7kg\\v=6,3\frac{m}{s}\\\theta_2=29\°\\\theta_3=29\°$

Con lo que tanto el momento inicial por la velocidad final tendrán en común el siguiente vector:

$v=[(9+4cos(29\°)+cos(270\°-46\°))i+(4sen(29\°)+sen(270\°-46\°))j]\\v=(11,78i+1,24j)$

De acuerdo a las ecuaciones halladas el momento inicial es:

$P_{TOTi}=mv[(9+4cos(29\°)+cos(270\°-46\°)i+(4sen(29\°)+sen(270\°-46\°))j]\\\\P_{TOTi}=4,7kg.6,3\frac{m}{s}(11,78i+1,24j)=(349i+36,7j)kg\frac{m}{s}$

Y la velocidad final es:

$v_f=\frac{v}{6}[(9+4cos(29\°)+cos(270\°-46\°))i+(4sen(29\°)+sen(270\°-46\°))j]\\\\v_f=\frac{6,3\frac{m}{s}}{6}(11,78i+1,24j)=(12,4i+1,3j)\frac{m}{s}$

Resumiendo, el momento inicial es $(349i+36,7j)kg\frac{m}{s}$ y la velocidad final es (12,4i+1,3j) metros por segundo.

B bis) Recapitulando, la velocidad final sigue la dirección del vector

$v=[(9+4cos(\theta_2)+cos(270\°-\theta_3))i+(4sen(\theta_2)+sen(270\°-\theta_3))j]\\\\v=11,78i+1,24j$

Con lo que el argumento de este vector es la dirección de la velocidad, el mismo está dado por:

$\theta_4=arctg(\frac{1,24}{11,78})=6,01\°$

Con lo cual, los tres cuerpos unidos se van a desplazar en una dirección de 6° respecto de la horizontal hacia la derecha y hacia arriba una vez colisionen.