Question

Determine dos números positivos cuya suma se 75, tales que el producto de uno por el cuadrado del otro sea máximo

Answer 1

Los dos números positivos cuya suma es 75, tales que el producto de uno por el cuadrado del otro es máximo son: 25 el primero y 50 el segundo.  

Explicación paso a paso:  

La función objetivo es el producto de uno de los números por el cuadrado del otro. Si llamamos y al primer número y x al segundo; la función objetivo viene dada por:  

F  =  yx²  

Lo conveniente es que F esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos la suma conocida de los dos números (ecuación auxiliar) para despejar y en función de x:  

$x+y=75\qquad \Rightarrow\qquad y=75-x$  

por tanto la función objetivo es  

$F=[(75-x)x^{2}]=75x^2-x^3$  

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de F.  

$F'=150x-3x^2$  

$F'=0 \quad \Rightarrow \quad 150x-3x^2=0\quad \Rightarrow$  

$\bold{x=50}$  

Este es el punto crítico o posible extremo de la función. (no se considera  x = 0  por carecer de sentido en el contexto tratado en el problema)

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.  

$F''=150-6x$  

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.  

$F''_{(50)}=150-6(50)<0 \quad \Rightarrow \quad x=50$ es un máximo de la función F.  

Sustituimos el valor de x en la ecuación de cálculo de y:  

$\bold{y= 75-(50)=25}$  

Los dos números positivos cuya suma es 75, tales que el producto de uno por el cuadrado del otro es máximo son: 25 el primero y 50 el segundo.