Question

alguien me podría explicar como puedo hacer este ejercicio por sustitución???​

Answer 1

Respuesta:

$arctan(e^{2x}+1)+c$

Explicación paso a paso:

∫$\frac{2e^{2x}}{e^{4x}+2e^{2x}+2}dx$

sacamos la constante de la integral

2∫$\frac{e^{2x}}{e^{4x}+2e^{2x}+2}dx$

hacemos cambio de variable

u = 2x    du/dx = 2      du/2 = dx

2∫$\frac{e^{u}}{e^{2u}+2e^{u}+2}.\frac{du}{2}$

2∫$\frac{e^{u}}{2(e^{2u}+2e^{u}+2}du$

sacamos nuevamente la constante de la integral

2.1/2∫$\frac{e^{u}}{e^{2u}+2e^{u}+2}du$

2 se cancela con 1/2 y queda

∫$\frac{e^{u}}{e^{2u}+2e^{u}+2}du$

volvemos a hacer cambio de variable

v = $e^{u}     \frac{dv}{du}=e^{u}$

∫$\frac{v}{v^{2}+2v+2}.\frac{dv}{v}$

∫$\frac{1}{v^{2}+2v+2}dv$

escribimos el 2 como 1 + 1 para completar el trinomio cuadrado perfecto

∫$\frac{1}{v^{2}+2v+1+1}dv$

factorizamos el trinomio cuadrado perfecto

∫$\frac{1}{(v+1)^{2}+1}dv$

volvemos a hacer cambio de variable

w = v + 1         dw/dv = 1          dw/1 = dv        dw = dv

∫$\frac{1}{w^{2}+1}dw$

ya tenemos una integral conocida entonces integramos

arctan (w) + c

pero como w = v + 1

arctan (v + 1) + c

pero como v = $e^{u}$

arctan ($e^{u}+1)+c$

pero como u = 2x

$arctan(e^{2x}+1)+c$