Question

En la siguiente figura se ilustran dos casos de colisiones elásticas. En la parte superior, una partícula de masa m/2 y velocidad v1 colisiona con una partícula de masa m en reposo. En la parte inferior, una partícula de masa 2m y velocidad v1colisiona con una partícula de masa m en reposo.

Determine analíticamente:

- Las velocidades finales de las partículas en las situaciones 1 y 2.

- La conservación del momento mediante los resultados de a) en las situaciones 1 y 2.

- La razón entre el momento total en la situación 1 y el momento total en la situación 2.

Determine numéricamente:

- Los valores del inciso a) si v_(1 )=4,40 m/s.

Answer 1

En toda colisión entre dos o más objetos se conserva la cantidad de movimiento, o momento lineal, si la colisión es totalmente elástica se conserva también la energía cinética, la ecuación planteada es, llamando v a las velocidades iniciales y u a las finales:

$m_1v_1 +m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2\\\\\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_2u_2^2$

Operando nos queda:

$m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2\\m_1(v_1-u_1)=m_2(u_2-v_2)\\\\m_1v_1^2+m_2v_2^2=m_1u_1^2+m_2u_2^2\\m_1v_1^2-m_1u_1^2=m_2u_2^2-m_2v_2^2\\m_1(v_1+u_1)(v_1-u_1)=m_2(u_2-v_2)(u_2+v_2)$

En la última ecuación reemplazamos la primera:

$m_1(v_1-u_1)=m_2(u_2-v_2)\\m_1(v_1+u_1)(v_1-u_1)=m_2(u_2-v_2)(u_2+v_2)=>\\\\m_2(u_2-v_2)(v_1+u_1)=m_2(u_2-v_2)(u_2+v_2)\\u_1+v_1=u_2+v_2$

a) Con lo que de la ecuación de la conservación del momento lineal puedo eliminar una de las velocidades finales:

$u_2=u_1+v_1-v_2\\m_1v_1 +m_2v_2=m_1u_1+m_2(u_1+v_1-v_2)\\m_1v_1 +m_2v_2=m_1u_1+m_2u_1+m_2v_1-m_2v_2\\(m_1+m_2)u_1=v_1(m_1-m_2)+2m_2v_2$

La velocidad final 1 queda:

$u_1=\frac{v_1(m_1-m_2)+2m_2v_2}{m_1+m_2}$

Si aplico el mismo procedimiento eliminando u1 de la ecuación de conservación del momento lineal queda:

$u_2=\frac{v_2(m_2-m_1)+2m_1v_1}{m_1+m_2}$

Ahora si reemplazo para cada situación tengo:

caso 1:

$v_2=0; m_1=\frac{m}{2}; m_2=m\\\\u_1=\frac{v_1(\frac{m}{2}-m)}{\frac{m}{2}+m}=-\frac{v_1}{3}$

$u_2=\frac{2\frac{m}{2}v_1}{\frac{m}{2}+m}=\frac{2}{3}v_1$

Caso 2:

$v_2=0; m_1=2m; m_2=m\\\\u_1=\frac{v_1(2m-m)}{2m+m}=\frac{v_1}{3}$

$u_2=\frac{2.2mv_1}{2m+m}=\frac{4}{3}v_1$

Con lo que para el caso 1 las velocidades finales son $u_1=-\frac{v_1}{3}; u_2=\frac{2}{3}v_1$ y para el caso 2 son $u_1=\frac{v_1}{3}; u_2=\frac{4}{3}v_1$

2) Si introducimos los datos en la ecuación de la conservación del momento queda:

Caso 1:

$\frac{m}{2}v_1=-\frac{m}{2}\frac{v_1}{3}+\frac{2}{3}v_1m\\\frac{m}{2}v_1=mv_1(\frac{2}{3}-\frac{1}{6})=\frac{1}{2}m_1v_1$

Caso 2:

$2mv_1=\frac{1}{3}v_1(2m)+m\frac{4}{3}v_1=mv_1(\frac{2}{3}+\frac{4}{3})=2mv_1$

Con lo que la conservación del momento lineal queda comprobada.

3) La razón entre los momentos es:

$\frac{P_1}{P_2}=\frac{\frac{m}{2}v_1}{2mv_1}=\frac{1}{4}$

El momento total en el caso 2 es 4 veces superior al del caso 1, ya que la bola que se está moviendo es 4 veces más masiva en el caso 2 y la velocidad inicial es la misma.

4) Si es $v_1=4,4\frac{m}{s}$ reemplazo directamente en las relaciones halladas en (1), para el caso 1 tenemos:

$u_1=-\frac{v_1}{3}=\frac{4,4}{3}=-1,47\frac{m}{s}\\\\u_2=\frac{2}{3}.4,4\frac{m}{s}=2,93\frac{m}{s}$

El signo negativo de la velocidad final 1 indica que el cuerpo 1 va a invertir su dirección. Y para el caso 2:

$u_1=\frac{v_1}{3}=\frac{4,4}{3}=1,47\frac{m}{s}\\\\u_2=\frac{4}{3}.4,4\frac{m}{s}=5,87\frac{m}{s}$

Con lo que las velocidades finales de los cuerpos 1 y 2 son respectivamente para el caso 1, 1,47metros por segundo (hacia atrás) y 2,93 metros por segundo, y en el caso 2 son 1,47 metros por segundo y 5,87 metros por segundo.