Question

Calcular la proyección del vector A sobre el vector B, cuyos módulos se encuentran en la proporción de 3 a 4. El vector A, tiene un módulo de 15 u y sus ángulos directores son: a = tt/4 rad; p = 2 tt/3 rad, mientras que el unitario de B es 0,6i - bj + 0,3k

Answer 1

La proyección de A en la dirección de B es

$P_{A,B}=(\frac{9}{10}\sqrt{2}+\frac{27}{20}\sqrt{3})i-(\frac{3}{2}\sqrt{2}+\frac{9}{4}\sqrt{3})j+(\frac{9}{20}\sqrt{2}+\frac{27}{40}\sqrt{3})k$

Desarrollo paso a paso:

Para hallar la proyección de un vector en la dirección del otro usamos la siguiente ecuación:

$|P_{u,v}|=\frac{u.v}{|v|}$

La cual determina el módulo de la proyección de U sobre V, la dirección de dicho vector será la misma de V.

En cuanto al vector A, su ángulo director a es el ángulo que el vector tiene con el eje x positivo mientras que el ángulo director b, es el que tiene con el plano xy, por lo que queda:

$A_x=|A|.cos(a).cos(b)=15.cos(\frac{\pi}{4}).cos(\frac{2\pi}{3})=15.\frac{\sqrt{2}}{2}.(-\frac{1}{2})=-\frac{15}{4}\sqrt{2}\\A_y=|A|.sen(a).cos(b)=15.sen(\frac{\pi}{4}).cos(\frac{2\pi}{3})=15.\frac{\sqrt{2}}{2}.(-\frac{1}{2})=-\frac{15}{4}\sqrt{2}\\A_z=|A|.sen(b)=15.sen(\frac{2\pi}{3})=15\frac{\sqrt{3}}{2}$

Si el módulo de B está en la proporción 3 a 4 con el de A significa que B tiene un módulo 4/3 mayor que A por lo que queda:

$|B|=\frac{4}{3}.15=20\\\\B=20(0,6;-1;0,3)=(12;-20;6)$

Ahora en la ecuación de la proyección de A sobre B reemplazo los valores hallados:

$|P_{A,B}|=\frac{A.B}{|B|}=\frac{(-\frac{15}{4}\sqrt{2};-\frac{15}{4}\sqrt{2};\frac{15}{2}\sqrt{3}).(12;-20;6)}{20}=\\\\|P_{A,B}|=\frac{(-\frac{15}{4}\sqrt{2};-\frac{15}{4}\sqrt{2};\frac{15}{2}\sqrt{3}).(12;-20;6)}{20}=\frac{-45\sqrt{2}+75\sqrt{2}+45\sqrt{3}}{20}=\frac{3}{2}\sqrt{2}+\frac{9}{4}\sqrt{3}$

Este es el módulo del vector proyección de A sobre B, la dirección será la misma que B, y de B conocemos su vector unitario por lo que queda:

$P_{A,B}=(\frac{3}{2}\sqrt{2}+\frac{9}{4}\sqrt{3})(0,6;-1;0,3)\\\\P_{A,B}=(\frac{9}{10}\sqrt{2}+\frac{27}{20}\sqrt{3};-\frac{3}{2}\sqrt{2}-\frac{9}{4}\sqrt{3};\frac{9}{20}\sqrt{2}+\frac{27}{40}\sqrt{3})$