Question

Encuentre las longitudes de onda más largas y más cortas en las series de ????1 para el hidrógeno. ¿en qué región del espectro electromagnético está cada serie?

Answer 1

Para encontrar las longitudes de onda de emisión del hidrógeno vamos a recurrir al modelo atómico de Bohr, partiendo de que un electrón emite un fotón cuando cae de un nivel superior a uno inferior, y la energía de ese fotón es igual a la energía que el electrón cedió:

$\Delta E=hf$

Donde h es la constante de Planck y f la frecuencia del fotón. Ahora bien, el segundo postulado de Bohr habla de niveles cuantificados para el electrón dados por la ecuación:

$mvr=\frac{nh}{2\pi}$

Siendo n el nivel cuántico, m la masa del electrón, v su velocidad y r el radio de la órbita. Según el primer postulado, la energía del electrón a una distancia dada del núcleo es:

$E=-\frac{1}{2}\frac{kZq^2}{r}$

Donde k es la constante de Coulomb en el vacío, q la carga elemental y Z el número atómico que como se trata de hidrógeno es Z=1.

Tengo que también el radio de la órbita, de donde despejamos la velocidad v es:

$r=k\frac{Zq^2}{mv^2}\\\\v=\sqrt{k\frac{Zq^2}{mr}}=q\sqrt{k\frac{Z}{mr}}$

Lo cual reemplazo en la fórmula del segundo postulado:

$mq\sqrt{k\frac{Z}{mr}}r=\frac{nh}{2\pi}\\\\m^2q^2k\frac{Z}{mr}r^2=\frac{n^2h^2}{4\pi^2}\\\\mq^2kZr=\frac{n^2h^2}{4\pi^2}$

Ahora despejo el radio:

$r=\frac{n^2h^2}{4\pi^2mq^2kZ}$

Ahora lo reemplazo en la fórmula de la energía para hallar los niveles permitidos de energía:

$E=-\frac{1}{2}\frac{kZq^2}{r}=-\frac{1}{2}\frac{kZq^2}{\frac{n^2h^2}{4\pi^2mq^2kZ}}=-\frac{2\pi^2mk^2Z^2q^4}{n^2h^2}$

Ahora si reemplazo en la fórmula de Einstein-Planck queda:

$E_{nf}-E_{ni}=hf\\\\-\frac{2\pi^2mk^2Z^2q^4}{n_f^2h^2}-(-\frac{2\pi^2mk^2Z^2q^4}{n_i^2h^2})=hf\\\\\frac{2\pi^2mk^2Z^2q^4}{n_i^2h^2}-\frac{2\pi^2mk^2Z^2q^4}{n_f^2h^2}=h\frac{c}{\lambda}$

En esa ecuación saco factor común y despejo $\frac{1}{\lambda}$:

$\frac{2\pi^2mk^2Z^2q^4}{h^2}(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2})=h\frac{c}{\lambda}\\\\\frac{2\pi^2mk^2Z^2q^4}{h^3c}(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2})=\frac{1}{\lambda}$

El factor que multiplica a la diferencia de inversas, es conocido como Constante de Rydberg, es distinta para cada elemento, y para el hidrógeno es:

$R_H=\frac{2\pi^2mk^2Z^2q^4}{h^3c}=\frac{2\pi^29,11x10^{-31}(9x10^9)^2.1^2(1,6x10^{-19})^4}{(6,626x10^{-34})^33x10^{8}}=1,097x10^{7}m^{-1}$

Ahora la ecuación llamada de las fórmulas espectrales empíricas queda:

$\frac{1}{\lambda}=R_h(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2})$

Ahora bien, las longitudes de onda para n=1 denominadas Serie de Lyman son:

$n_i=1\\\\\frac{1}{\lambda}=R_H(1-\frac{1}{n_f^2})$

La mayor longitud de onda la tengo cuando el electrón cae hacia el nivel 1 desde el nivel 2, que es el inmediatamente superior:

$\frac{1}{\lambda}=R_H(1-\frac{1}{2^2})\\\\\lambda(n_f=2)=\frac{1}{R_H\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}\frac{1}{R_H}=122nm$

Y la menor longitud de onda la tengo cuando el electrón cae desde infinito:

$\frac{1}{\lambda}=R_H(1-\frac{1}{\infty^2})\\\\\lambda(n_f=2)=\frac{1}{1,097x10^{7}}=91,1nm$

Con lo cual concluimos que las longitudes de onda de la serie de Lyman del hidrógeno están comprendidas entre 91,1nm y 122nm, quedando todas en el ultravioleta extremo.