Un acuario de cristal de base cuadrada está diseñado para contener 13,5 pies cúbicos de agua. ¿Cuál es el área superficial mínima del acuario?
Respuestas
Respuesta:
1 / 5
Para empezar, sea ~x~ x space, x, space la longitud del lado de la base y sea ~h~ h space, h, space la altura del acuario.
Entonces, el volumen del acuario es
\qquad V=x^2h\,V=x
2
hV, equals, x, squared, h.
Como el volumen es de 13{,}513,513, comma, 5 pies cúbicos, tenemos que
\qquad x^2h=13{,}5\,x
2
h=13,5x, squared, h, equals, 13, comma, 5,
y así,
\qquad h=\dfrac{13{,}5}{x^2}\,h=
x
2
13,5
h, equals, start fraction, 13, comma, 5, divided by, x, squared, end fraction .
Pista #22 / 5
Ahora consideramos el área de la superficie exterior, ~S~ S space, S, space, que es la suma de las áreas de la base y las cuatro paredes verticales congruentes. Entonces,
\qquad S=x^2+4xh\,S=x
2
+4xhS, equals, x, squared, plus, 4, x, h.
Como h=\dfrac{13{,}5}{x^2}h=
x
2
13,5
h, equals, start fraction, 13, comma, 5, divided by, x, squared, end fraction, sustituimos y simplificamos.
\qquad S=x^2+4x\cdot \dfrac{13{,}5}{x^2}S=x
2
+4x⋅
x
2
13,5
S, equals, x, squared, plus, 4, x, dot, start fraction, 13, comma, 5, divided by, x, squared, end fraction
\qquad S=x^2+\dfrac{54}{x}S=x
2
+
x
54
S, equals, x, squared, plus, start fraction, 54, divided by, x, end fraction
Pista #33 / 5
Para minimizar el área, necesitamos encontrar la derivada, igualarla a cero y resolver la ecuación resultante.
\qquad S\ ^\prime(x)=2x-\dfrac{54}{x^2}S
′
(x)=2x−
x
2
54
S, space, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, minus, start fraction, 54, divided by, x, squared, end fraction
\qquad 2x-\dfrac{54}{x^2}=02x−
x
2
54
=02, x, minus, start fraction, 54, divided by, x, squared, end fraction, equals, 0
\qquad 2x^3-54=02x
3
−54=02, x, cubed, minus, 54, equals, 0
\qquad x^3-27=0x
3
−27=0x, cubed, minus, 27, equals, 0
\qquad x=3x=3x, equals, 3
Pista #44 / 5
Para confirmar que ~S(3)~ S(3) space, S, left parenthesis, 3, right parenthesis, space es un mínimo aplicamos, la segunda derivada.
\qquad S\ ^{\prime\prime}(x)=2+\dfrac{108}{x^3}S
′′
(x)=2+
x
3
108
S, space, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, plus, start fraction, 108, divided by, x, cubed, end fraction.
\qquad S\ ^{\prime\prime}(3)=2+\dfrac{108}{3^3}=6S
′′
(3)=2+
3
3
108
=6S, space, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 2, plus, start fraction, 108, divided by, 3, cubed, end fraction, equals, 6
Dado que ~S\,^\prime(3)=0~ S
′
(3)=0 space, S, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 0, space y ~S\,^{\prime\prime}(3)>0\ S
′′
(3)>0 space, S, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 3, right parenthesis, is greater than, 0, space, sabemos que ~S(3)~ S(3) space, S, left parenthesis, 3, right parenthesis, space es un mínimo.
Pista #55 / 5
Este valor hace que sea mínima el área de la superficie
\qquad S(3)=3^2+\dfrac{54}{3}S(3)=3
2
+
3
54
S, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 3, squared, plus, start fraction, 54, divided by, 3, end fraction
\qquad \qquad=9+18=27=9+18=27equals, 9, plus, 18, equals, 27 pies cuadrados.
Explicación paso a paso:
El área de superficial mínima del acuario: 5,67 pies².
¿Cómo se obtiene el volumen de un prisma cuadrangular?
El volumen de un prisma cuadrangular se obtiene multiplicando sus tres dimensiones: la base, el ancho y la altura, como las tres dimensiones son de igual longitud, entonces:
Volumen de un prisma cuadrangular
V = a³
a: arista
El área de superficial mínima del acuario:
A = a²
La arista del acuario es:
13,5pies³ = a³
a =∛13,5pies³
a = 2,38 pies
A = (2,38 pies)²
A = 5,67 pies²
El área de superficial mínima del acuario: 5,67 pies².
Si quiere saber más de Volumen de un prisma cuadrangular vea: https://brainly.lat/tarea/55729786
#SPJ2
