d) ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos D(6,-6,7), E(12,-9,-3) y F(3,2,10)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente.
Respuestas
La ecuación del plano que contiene a las puntos D, E y F es:
π: -64x + y + 6z = 361
En la imagen se puede ver la gráfica del plano.
Explicación:
Dados,
D(5,-7,8)
E(5,11,5)
F(4,7,-5)
Iniciamos hallando la normal del plano;
Es el producto vectorial de dos vectores que se encuentran en el plano;
n = DE × DF
Siendo;
DE = (5-5, 11+7, 5-8)
DE = (0, 18, -3)
DF = (4-5, 7+7, -5-8)
DF = (-1, 14, -13)
Sustituir;
= i [(18)(-13)-(14)(-3)] -j [(0)(-13)-(-1)(-3)]+ k [(0)(14)-(-1)(18)]
= i(-192)-j(-3)+k(18)
= -192 i + 3 j + 18 k
n = (-192, 3, 18)
Se tiene un punto A(x, y, z) perteneciente al plano;
El vector DA;
DA = (x-5, y+7, z-8)
Siendo este vector ⊥ al plano;
Si dos vectores son perpendiculares entonces su producto punto es igual a cero;
DA • n = 0
Sustituir;
(x-5, y+7, z-8)•(-192, 3, 18) = 0
-192(x-5)+ (y+7)3+ (z-8)18 = 0
-192x -960 + 3y + 21 + 18z -144 =0
Agrupar términos semejantes;
-192x + 3y + 18z = 1083
Dividir ambos lados entre 3;
-64x + y + 6z = 361
π: -64x + y + 6z = 361
