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necesito ayuda con esto

Answer 1

Vamos a empezar, recordando que una fracción se simplifica si es posible dividir por un mismo número, polinomio o función numerador y denominador, en tal caso se efectúa la división tanto del numerador como del denominador por ese número, polinomio o función, planteando la ecuación a simplificar:

$\frac{\frac{9+6x+x^2}{9-x^2}\frac{3x^2-x^3}{3x^2+x^3}}{\frac{2x-4}{3/4+2/8}:\frac{2x^2-8x+8}{x-2}}$

Podemos empezar resolviendo la suma de fracciones en el primer factor del denominador:

$\frac{3}{4}+\frac{2}{8}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$

Luego la división de fracciones implica que la segunda fracción se invierte transformándose la operación en un producto. Queda:

$\frac{\frac{9+6x+x^2}{9-x^2}\frac{3x^2-x^3}{3x^2+x^3}}{2x-4\frac{x-2}{2x^2-8x+8}}$

Ahora bien, si factorizo el polinomio $2x^2-8x+8$ queda:

$2x^2-8x+8=2(x^2-4x+4)\\\\x_{1,2}=\frac{4\ñ\sqrt{4^2-4.1.4}}{2.1}=\\x_1=2\\x_2=2\\\\2x^2-8x+8=2(x-2)^2$

Queda:

$\frac{\frac{9+6x+x^2}{9-x^2}\frac{3x^2-x^3}{3x^2+x^3}}{2x-4\frac{x-2}{2x^2-8x+8}}=\frac{\frac{9+6x+x^2}{9-x^2}\frac{3x^2-x^3}{3x^2+x^3}}{2x-4\frac{x-2}{2(x-2)^2}}$

En el primer factor del denominador se puede extraer un factor común de 2:

$\frac{\frac{9+6x+x^2}{9-x^2}\frac{3x^2-x^3}{3x^2+x^3}}{2x-4\frac{x-2}{2(x-2)^2}}=\frac{\frac{9+6x+x^2}{9-x^2}\frac{3x^2-x^3}{3x^2+x^3}}{2(x-2)\frac{x-2}{2(x-2)^2}}=\frac{9+6x+x^2}{9-x^2}\frac{3x^2-x^3}{3x^2+x^3}$

Ahora bien, en la segunda fracción se puede sacar factor común de x al cuadrado:

$\frac{9+6x+x^2}{9-x^2}\frac{3x^2-x^3}{3x^2+x^3}=\frac{9+6x+x^2}{9-x^2}\frac{x^2(3-x)}{x^2(3+x)}=\frac{9+6x+x^2}{9-x^2}\frac{(3-x)}{(3+x)}$

En el denominador del primer factor puedo aplicar la propiedad de la diferencia de cuadrados de modo que:

$9-x^2=(\sqrt{9}-\sqrt{x^2})(\sqrt{9}+\sqrt{x^2})=(3-x)(3+x)$

Reemplazando:

$\frac{9+6x+x^2}{9-x^2}\frac{(3-x)}{(3+x)}=\frac{9+6x+x^2}{(3-x)(3+x)}\frac{(3-x)}{(3+x)}=\frac{9+6x+x^2}{(3+x)}\frac{1}{(3+x)}$

Por último se puede factorizar el polinomio $9+6x+x^2$:

$x_{1,2}=\frac{-6\ñ\sqrt{6^2-4.1.9}}{2.1}=\\ \\x_1=-3\\x_2=-3\\9+6x+x^2=(x+3)^2$

Reemplazando:

$\frac{9+6x+x^2}{(3+x)}\frac{1}{(3+x)}=\frac{(x+3)^2}{(3+x)}\frac{1}{(3+x)}=\frac{(x+3)^2}{(x+3)^2}=1$

Con lo cual toda la expresión planteada reducida a su mínima expresión es 1