Question

Un balón de fútbol que se patea a un ángulo de 60° con la horizontal, recorre una distancia horizontal de 50 m antes de chocar con el suelo.
A) Determina la magnitud de la velocidad inicial del balón.
b) Si el balón se patea a un ángulo de 30° con la misma rapidez, ¿cuál es la distancia horizontal que recorrerá antes de tocar el piso?
c) ¿Cuáles son los tiempos de vuelo del balón para dichos ángulos del piso?

Answer 1

• La magnitud de la velocidad inicial del balón $V=23,79m/s$
• La distancia horizontal que recorrerá antes de tocar el piso $x_2=57,75m$

• Los tiempos de vuelo del balón para dichos ángulos del piso: $\alpha=30^{o} , t=2,43s$ y $\theta=60^{o} , t=4,85s$

Datos

• Ángulo $\theta=60^{o}$
• Distancia $x=50m$
• Ángulo dos $\alpha=30^{o}$

Parte a

Usando la ecuación

$h_f=h_i+V\sin{\theta}t-\frac{gt^{2}}{2}$

Y la ecuación

$V\cos{\theta}=\frac{x}{t}$

Se puede encontrar o la velocidad inicial o el tiempo, todo dependiendo de lo que se desee en primer lugar.

Como las alturas son cero al inicio y al final del movimiento, la ecuación primera queda

$0=V\sin{\theta}t-\frac{gt^{2}}{2}$

Y despejando el tiempo en la ecuación dos

$t=\frac{x}{V\cos{\theta}}$

Se puede sustituir el tiempo, para obtener

$0=V\sin{\theta}*\frac{x}{V\cos{\theta}}-\frac{g(\frac{x}{V\cos{\theta}})^{2}}{2}$

Despejando la magnitud de la velocidad, como sigue

$V=\sqrt{\frac{g*x^{2}}{\tan{\theta}*x*\cos{\theta}^{2}*2}}$

Sustituyendo los valores en la ecuación, tenemos

$V=\sqrt{\frac{9,8m/s^{2}*(50m)^{2}}{\tan{60}*50m*\cos{60}^{2}*2}}=23,79m/s$

Parte b

Asumiendo la velocidad encontrada en la parte a y con un ángulo de 30 grados, la distancia dada está dada, siguiendo el mismo razonamiento de la parte anterior, pero esta vez despejando la distancia dado que ya se tiene la velocidad, se tiene

$h_f=h_i+V\sin{\theta}t-\frac{gt^{2}}{2}$

$t=\frac{x}{V\cos{\theta}}$

Introduciendo el tiempo en la primera, se tiene

$0=V\sin{\theta}*t=\frac{x}{V\cos{\theta}}-\frac{g(\frac{x}{V\cos{\theta}})^{2}}{2}$

Simplificando, nos da

$0=\tan{\alpha}*x-\frac{g*\frac{x^{2}}{V^{2}*\cos{\alpha}^{2}}}{2}$

Teniendo

$\tan{\alpha}*x-\frac{g*x^{2}}{V^{2}*\cos{\alpha}*2}$

Para la que se tienen dos valores de x

$x(\tan{\alpha}-\frac{gx}{V^{2}\cos{\alpha}^{2}*2}) \rightarrow x_1=0, x_2=\frac{2\tan{\alpha}*V^{2}*\cos{\alpha}^{2}}{g}$

Como la distancia no puede ser cero,

Sólo queda

$x_2=\frac{2\tan{\alpha}*V^{2}*\cos{\alpha}^{2}}{g}$

Sustituyendo, tenemos

$x_2=\frac{2\tan{30}*(23,79m/s)^{2}*\cos{30}^{2}}{9,8m/s^{2}}=57,75m$

Parte c

Con los datos, obtenidos, se pueden saber los tiempos con

$t=\frac{x}{V\cos{\theta , \alpha}$

Para Alfa

$t=\frac{50m}{23,79m/s\cos{30}=2,43s$

Para Teta

$t=\frac{57,75mm}{23,79m/s\cos{60}=4,85s$