Question

Hallar la longitud de la curva de la y=x^(2/3) entre el punto (0,0) y el punto (8,4). Grafique en Geogebra la función, tome un pantallazo y usando Paint señale con colores la sección de la gráfica a la cual se le ha hallado la longitud.

Answer 1

Para hallar la longitud de una curva, definimos un vector diferencial de longitud:

$\Delta l=||(\Delta x, \Delta y)||=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$

Saco factor comun dx:

$dl=dx\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}=dx\sqrt{1+f'(x)^2}$

Y la longitud del tramo de la curva comprendido entre a y b es:

$l=\int\limits^a_b {\sqrt{1+f'(x)^2}} \, dx$

La derivada de la función es:

$f(x)=x^{\frac{2}{3}}=>f'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$

Reemplazando:

$l=\int\limits^8_0 {\sqrt{1+(\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}})^2}} \, dx=\int\limits^8_0 {\sqrt{1+\frac{4}{9\sqrt[3]{x^2}}}} \, dx=\int\limits^a_b {\sqrt{\frac{4+9\sqrt[3]{x^2}}{9\sqrt[3]{x^2}}}} \, dx$

Distribuyendo la raíz cuadrada:

$l=\int\limits^8_0 {\frac{\sqrt{4+9\sqrt[3]{x^2}}}{3\sqrt[3]{x}}} \, dx$

Puedo hacer un cambio de variable:

$4+9\sqrt[3]{x^2}=u\\du=\frac{2}{3}.9.\frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx=\frac{6dx}{\sqrt[3]{x}}$

Queda:

$l=\int\limits^8_0 {\frac{\sqrt{u}}{18} \, du=\frac{1}{18}[\frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3}]^8_0=\frac{1}{18}[\frac{2(4+9\sqrt[3]{x^2})^{\frac{3}{2}}}{3}]^8_0\\\\l=\frac{1}{18}[\frac{2}{3}(4+9\sqrt[3]{8^2})^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{2}{3}(4+9\sqrt[3]{0^2})^{\frac{3}{2}}]=$

Operamos:

$\frac{1}{27}[(4+9\sqrt[3]{64})^{\frac{3}{2}}}-(4)^{\frac{3}{2}}]=\frac{1}{27}[(4+36)^{\frac{3}{2}}}-(4)^{\frac{3}{2}}]=\frac{1}{27}(\sqrt{64000}-8))\\l=\frac{80\sqrt{10}-8}{27}=9,073$

Con lo que la longitud del tramo de la función entre x=0 y x=8 es $\frac{80\sqrt{10}-8}{27}$, se adjunta el gráfico en GeoGebra del tramo cuya longitud acabamos de hallar.