Question

En la figura 10 se muestra un recipiente (cilindro recto) que está lleno de agua hasta una altura 12,6 metros. A una profundidad 2,40 metros bajo la superficie del agua se taladra un orificio. Determinar:

A. La velocidad con que sale el agua del orificio
B. El alcance x del chorro medido desde la base del cilindro.
C. A qué profundidad h se debe realizar un orificio para que el alcance x sea máximo.
D. A qué profundidad debe abrirse otro orificio para que el alcance sea el mismo que el inciso b)

Answer 1

La velocidad con que sale el agua del orificio es V = 6.86 m/s

El alcance x del chorro medido desde la base del cilindro es dx = 9.88 m

La qué profundidad h se debe realizar un orificio para que el alcance x sea máximo  dy = 6.30m

La qué profundidad debe abrirse otro orificio para que el alcance sea el mismo que el inciso b) es dy = 2.39m

La velocidad de salida se obtiene de la siguiente ecuación derivada de teorema de Torriceili:

• V = √ (2 * g * h)
• V = √ (2 * 9.81m/s² * 2.40m)
• V = 6.86 m/s

Tratamos al chorro como una partícula cayendo en un movimiento parabólico, descomponemos en eje "X" y "Y" su movimiento.

En el eje horizontal "X", es un MRU:

• V = d / t
• dx = V * t
• 1) dx = 6.86 m/s * t

En la componente vertical "Y", es un MRUV aplicamos la siguiente ecuación para hallar el tiempo que tarda el chorro en llegar al suelo (tv):

dy = Voy*t + (1/2) * g * t²

(12.60m - 2.40 m) = 0 + 0.5 * 9.81m/s² * t²

t² = 2.08s²

t = 1.44s

Sustituimos el valor obtenido del tiempo de vuelo en la ecuación 1):

• dx = 6.86 m/s * t
• dx = 6.86 m/s * 1.44s
• dx = 9.88 m

Para que el alcance sea máximo se debe cumplir que dx = H = 12.6m, entonces usamos las mismas ecuaciones pero usamos dx = 12.6m

• V = d / t
• t = dx / V
• t = 12.6m / V
• t = 12.6m / √ (2 * g * h)
• t = 12.6m / √ (2 * 9.81m/s² * dy)
• 1)        t = 12.60m / √ (19.62m/s² * dy)

• d = Voy*t + (1/2) * g * t²
• 12.60m-dy = 0 + 0.5 * 9.81m/s² * t²
• 12.60m - dy = 4.91m/s² * t²
• 2)      dy = 12.60m - 4.91m/s² * t²

Sustituyo ecuación 1) en ecuación 2):

• dy = 12.60m - (   4.91m/s² * ( 12.60m / √ (19.62m/s² * dy)   )²    )
• dy = 12.60m - (   4.91m/s² * (158.76m² / 19.62m/s² * dy)    )
• dy = 12.60m - (  779.51m³/s² / (19.62m/s² * dy)  )
• dy = 12.60m - 39.69m²/ dy
• dy² = 12.60m * dy - 39.69m²
• dy² - 12.60m * dy + 39.69m² = 0,  ==> Resolver Ec. cuadrática:
• dy = 6.30m

Para que el alcance sea el mismo que en el inciso anterior, usamos las mismas ecuaciones pero usamos dx = 9.88m:

• V = d / t
• t = dx / V
• t = 9.88m / V
• t = 9.88m / √ (2 * g * h)
• t = 9.88m / √ (2 * 9.81m/s² * dy)
• 1)        t = 9.88m / √ (19.62m/s² * dy)

• d = Vo*t + (1/2) * g * t²
• 12.60m-dy = 0 + 0.5 * 9.81m/s² * t²
• 12.60m - dy = 4.91m/s² * t²
• 2)      dy = 12.60m - 4.91m/s² * t²

Sustituyo ecuación 1) en ecuación 2):

• dy = 12.60m - (   4.91m/s² * ( 9.88m / √ (19.62m/s² * dy)   )²    )
• dy = 12.60m - (   4.91m/s² * (97.61m² / 19.62m/s² * dy)    )
• dy = 12.60m - (  479.27m³/s² / (19.62m/s² * dy)  )
• dy = 12.60m - 24.43m²/ dy
• dy² = 12.60m * dy - 24.43m²
• dy² - 12.60m * dy + 24.43m² = 0, ==> Resolver Ec. cuadrática:
• dy = 2.39m