Question

Tres partículas de masas 3m, 2m y 1m con rapideces 3v, 2v y 1v, respectivamente, confluyen en un punto como se muestra la figura 9. La partícula 1 se mueve con una velocidad paralela al eje x, mientras que las partículas 2 y 3 se mueven con velocidades en las direcciones determinadas por los ángulos θ_2 y θ_3, respectivamente (ver figura 9). Después de la colisión las tres partículas permanecen unidas.

Determine analíticamente y en función de las variables suministradas en el enunciado

A) El momento total antes del choque, expresado vectorialmente en términos de los vectores unitarios i y j.
B) La velocidad final, expresada vectorialmente en términos de los vectores unitarios i y j, de las partículas unidas después del choque.

Para el conjunto de valores m=4,70 kg, v=6,30 m/s, θ_2=29,0 grados y θ_3=46,0 grados determine numéricamente:

A) los resultados obtenidos los incisos a) y b).
B) La dirección de la velocidad final de las masas unidas.

Answer 1

En esta situación las partículas chocan plásticamente, es decir que luego de la colisión permanecen unidas, en este evento como no intervienen fuerzas externas se conserva el momento lineal. Tenemos antes del choque:

A) El momento inicial total es:

$P_{TOTi}=P_{1i}+P_{2i}+P_{3i} = 3m3v+2m2v+mv$

Las componentes horizontal y vertical de cada velocidad son:

$v_{1x}=3v.cos(0\°)=3v\\v_{1y}=3v.sen(0\°)=0\\\\v_{2x}=2v.cos(\theta_2)\\v_{2y}=2v.sen(\theta_2)\\\\v_{3x}=v.cos(\theta_3)\\v_{3y}=v.sen(\theta_3)$

De modo que el momento inicial queda:

$P_{TOTi} = 3m3vi+2m(2vcos(\theta_2)i+2vsen(\theta_2)j)+m(vcos(\theta_3)i+vsen(\theta_3)j)$

Reagrupando términos:

$P_{TOTi}=9mvi+4m(vcos(\theta_2)i+vsen(\theta_2)j)+m(vcos(\theta_3)i+vsen(\theta_3)j)\\P_{TOTi}=mv[(9+4cos(\theta_2)+cos(\theta_3))i+(4sen(\theta_2)+sen(\theta_3))j]$

B) Como se conserva la cantidad de movimiento, igualamos el momento final con el inicial, considerando que las 3 masas quedan unidas.

$mv_i[(9+4cos(\theta_2)+cos(\theta_3))i+(4sen(\theta_2)+sen(\theta_3))j]=(3m+2m+m)v_f\\mv_i[(9+4cos(\theta_2)+cos(\theta_3))i+(4sen(\theta_2)+sen(\theta_3))j]=6mv_f\\\\\frac{v_i}{6}[(9+4cos(\theta_2)+cos(\theta_3))i+(4sen(\theta_2)+sen(\theta_3))j]=v_f$

Ahora con el siguiente conjunto de datos:

$m=4,7kg\\v=6,3\frac{m}{s}\\\theta_2=29\°\\\theta_3=46\°$

Lo reemplazamos en las ecuaciones que hallamos, como el ángulo de la partícula 3 está en el tercer cuadrante es $\theta_3=270\°-46\°=224\°$:

A) El momento inicial total es:

$P_{TOTi}=mv[(9+4cos(\theta_2)+cos(\theta_3))i+(4sen(\theta_2)+sen(\theta_3))j]\\\\P_{TOTi}=4,7kg.6,3\frac{m}{s}[(9+4cos(29\°)+cos(224\°))i+(4sen(29\°)+sen(224\°))j]=\\\\P_{TOTi}=29,61kg\frac{m}{s}[11,78i+1,24j]=(349i+36,9j)kg\frac{m}{s}$

Y la velocidad después de la colisión:

$\frac{v_i}{6}[(9+4cos(\theta_2)+cos(\theta_3))i+(4sen(\theta_2)+sen(\theta_3))j]=v_f\\\\v_f=\frac{6,3\frac{m}{s}}{6}[(9+4cos(29\°)+cos(46\°))i+(4sen(29\°)+sen(46\°))j]\\v_f=\frac{6,3\frac{m}{s}}{6}[11,78i+1,24j]=(12,4i+1,3j)\frac{m}{s}$

Con lo que el momento inicial con el conjunto de datos dado es $(349i+36,9j)kg\frac{m}{s}$ y la velocidad final es$(12,4i+1,3j)\frac{m}{s}$.

B) La dirección de la velocidad final se calcula a partir de las componentes de esta manera:

$tg(\theta_4)=\frac{v_{fy}}{v_{fx}}\\\\\theta_4=arctg(\frac{v_{fy}}{v_{fx}})=arctg(\frac{1,3}{12,4})=5,98\°$

Con lo cual después de la colisión los cuerpos quedan unidos moviéndose a una dirección de 5,98° respecto a la horizontal.