Question

El área de un triángulo es de 1356 cm ^2 y dos de sus lados miden 53 cm y 69 cm. Determinar el ángulo comprendido entre ellos.

Answer 1

El ángulo que forman estos dos lados es de 42,1°.

Desarrollo paso a paso:

Para resolver este problema donde dan el área del triángulo y las longitudes de sus lados, podemos considerar a estos como sendos vectores cuyos módulos son 53cm y 69cm y recurrir al producto escalar entre ellos.

El producto escalar entre dos vectores definido como el producto entre sus módulos y el coseno del ángulo que forman:

$v_1.v_2=||v_1||.||v_2||.cos(\theta)$

Nos da el área del paralelogramo que se puede formar con ellos. Ahora bien, se puede deducir geométricamente que el segmento que une los extremos de esos vectores es una diagonal de ese paralelogramo, la cual lo parte en dos triángulos iguales (entre ellos el triángulo buscado), con lo que el área del triángulo buscado es:

$A=v_1.v_2=\frac{||v_1||.||v_2||.cos(\theta)}{2}$

Despejando el ángulo nos queda:

$A=\frac{||v_1||.||v_2||.cos(\theta)}{2}\\\\2A=||v_1||.||v_2||.cos(\theta)\\\\cos(\theta)=\frac{2A}{||v_1||.||V_2||}=\\\\\theta=arccos(\frac{2A}{||v_1||.||V_2||})=\theta=arccos(\frac{2.1356}{53.69})=42,1\°$

Con lo cual el ángulo que forman los dos lados conocidos del triángulo es de 41,2°.