Question

Encontrar el área de la región comprendida entre las curvas y=x^2+3x-6 y y=x-3. Grafique en Geogebra las funciones, tome un pantallazo y usando Paint señale con colores las regiones integradas

Answer 1

Por definición el área comprendida entre una curva y el eje x es:

$A=\int\limits^a_b {|f(x)|} \, dx$

Donde x=a y x=b son las rectas frontera del recinto cuya área queremos hallar. En este ejercicio nos solicitan el área comprendida entre dos curvas, la cual es, sean esas curvas f(x) y g(x):

$A=\int\limits^a_b {|f(x)|} \, dx -\int\limits^a_b {|g(x)|} \, dx$

Y en este caso el intervalo en el cual hacemos la integral es el comprendido entre los puntos de intersección entre las curvas. Para lo cual igualamos las ecuaciones:

$x^2+3x-6=x-3\\x^2+2x-3=0$

Tenemos que resolver la ecuación cuadrática para hallar los puntos de intersección:

$x_{1,2}=\frac{-2\ñ\sqrt{(-2)^2-4.1(-3)}}{2.1} =\frac{-2\ñ\sqrt{4+12}}{2}\\x_1=1\\x_2=-3$

Tenemos que integrar entre -3 y 1. Los ceros de la parábola usando la misma ecuación anterior son:

$x_{12}=\frac{-3\ñ\sqrt{3^2-4(-6)}}{2.1}=\frac{-3\ñ\sqrt{33}}{2}=1,37; -4,37$

Mientras que el de la recta es x=3, lo que significa que en todo el intervalo de integración las funciones tienen el mismo signo. Si hubiere ceros dentro del intervalo de integración, debemos desdoblar la integral en dos integrales partiendo el intervalo de integración en ese cero.

Reemplazando en la ecuación del área las funciones y el intervalo de integración:

$A=\int\limits^1_{-3} {x^2+3x-6} \, dx -\int\limits^1_{-3} {x-3} \, dx$

$A=[\frac{x3}{3}+3\frac{x^2}{2}-6x]^1_{-3}-[\frac{x^2}{2}-3x]^1_{-3}\\\\A=(\frac{1}{3}+\frac{3}{2}-6)-(-\frac{27}{3}+\frac{27}{2}+18)-[(\frac{1}{2}-3)-(\frac{9}{2}+9)]\\\\A=-\frac{7}{6}-\frac{45}{2}-[-\frac{5}{2}-\frac{27}{2}]=-\frac{142}{6}+16=-\frac{46}{6}=-\frac{23}{3}$

El signo negativo se debe a que todo el recinto se encuentra por debajo del eje x. Tenemos que el área del recinto solicitado es 23/3.

Se adjunta el gráfico de ambas funciones usando el software GeoGebra, con el recinto cuya área se calculó sombreada en naranja.