Question

Encuentra el volumen de la pirámide BDEG

Answer 1

Para hallar el volumen de la pirámide BDEG, antes que nada recordemos el volumen de la pirámide:

$V=\frac{1}{3}hA$

Donde A es el área de la base y h es la altura de la pirámide, que es la longitud de un segmento perpendicular al plano de la base que une a esta con la cúspide.

Vamos a encarar este problema considerando que el paralelepípedo está formado por la pirámide BDEG (la pirámide bajo estudio) y las pirámides EFGB, BCDG, ABDE y DEGH, con lo cual tenemos:

$V_{BDEG}+V_{EFGB}+V_{BCDG}+V_{ABDE}+V_{DEGH}=V_{par}\\V_{BDEG}=V_{par}-V_{EFGB}-V_{BCDG}-V_{ABDE}-V_{DEGH}$

Empecemos por el volumen EFGB, la base es el triángulo rectángulo EFG cuya área es:

$A_{efg}=\frac{5cm.4cm}{2}=10cm^2$

Y la altura es BF, el volumen queda:

$V_{EFGB}=\frac{1}{3}.10cm^2.3cm=10cm^3$

Como el triángulo rectánculo EGH es congruente con EGF, el volumen de DEGH es igual al de EFGB.

$V_{EFGB}=10cm^3$

Ahora como los triángulos ADB y ADC son congruentes, y las alturas de las pirámides BCDG y ABDE también son iguales, tenemos que para ambas el volumen es:

$A_{ADB}=\frac{4cm.5cm}{2}=10cm^2$

Y el volumen de ambas:

$V_{ADBE}=V_{BCDG}=\frac{3cm.10cm^2}{3}=10cm^3$

Por otro lado el volumen del paralelepípedo es:

$V_{par}=5cm.4cm.3cm=60cm^3$

Nos queda que el volumen buscado es:

$V_{BDEG}=V_{par}-V_{EFGB}-V_{BCDG}-V_{ABDE}-V_{DEGH}\\V_{BDEG}=60cm^3-10cm^3-10cm^3-10cm^3-10cm^3=20cm^3$

Con lo cual, el volumen de la pirámide BDEG es de 20 centímetros cúbicos.