Question

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: f(x)=3x^3-2x

Answer 1

La derivada de la función f(x)= 3x³ - 2x es:

f'(x)= 9x²-2

Explicación paso a paso:

Por definición:

f'(x)= lim (h⇒o) (f(x+h) - f(x))/h

Primero hallamos f(x+h):

f(x+h)=3(x+h)³ - 2(x+h)

f(x+h)= 3(x+h)(x+h)²- 2(x+h)

f(x+h)= 3(x+h)(x²+2xh+h²)- 2(x+h)

f(x+h)= 3(x³+2x²h+xh²+x²h+2xh²+h³)- 2(x+h)

f(x+h)= 3(x³+h³+3x²h+3xh²)- 2(x+h)

f(x+h)= 3x³+3h³+9x²h+9xh²-2x-2h

La derivada es  igual a:

f'(x)= lim (h⇒o)(3x³+3h³+9x²h+9xh²-2x-2h - (3x³-2x))/h

f'(x)= lim (h⇒o)(3h³+9x²h+9xh²-2h)/h

Sacando factor común h:

f'(x)= lim (h⇒o) h(3h²+9x²+9xh-2)/h

f'(x)= lim (h⇒o) 3h²+9x²+9xh-2

f'(x)= 3(0)²+9x²+9x(0)-2  

f'(x)= 9x² - 2