Question

Se sueldan varillas de cobre, latón y acero para formar una “Y”. El área transversal de cada varilla es de 2.00 cm2. El extremo libre de la varilla de cobre se mantiene a 0 oC; y los extremos libres de las varillas de latón y acero, a 84,5 oC. Suponga que no hay pérdida de calor por los costados de las varillas, cuyas longitudes son: cobre, 13 cm; latón, 17,3 cm; acero, 20,5 cm. Calcule la corriente calorífica que pasa por el acero. Las conductividades térmicas del cobre, latón y acero son respectivamente; 385, 109, 50.2 todas con unidades de W/mK.

Answer 1

La corriente calorífica por el acero en esa configuración es de 0,265W.

Desarrollo paso a paso:

La corriente calorífica, que es el calor transmitido a través de un material, sigue la siguiente ley experimental:

$H=\frac{dQ}{dt}=k\frac{A}{L}(T_h-T_c)$

Donde es k la conductividad térmica del material, A el área transversal, L la longitud del mismo, y Th y Tc las temperaturas en los extremos.

Tenemos que las temperaturas de los extremos de cada varilla están a temperaturas conocidas, siendo desconocida la del centro. Tenemos, siendo Tc la temperatura del centro:

$H_{Cu}=k_{Cu}\frac{A}{L}(T_{Cu}-T_c)\\\\H_{Laton}=k_{Laton}\frac{A}{L}(T_{Laton}-T_c)\\\\H_{Acero}=k_{Acero}\frac{A}{L}(T_{Acero}-T_c)$

Si no se disipa calor por los laterales de las varillas, podemos decir que todo el calor se transmite a la zona donde hay 0°C que es el extremo libre del cobre. Tenemos:

$H_{Cu}=H_{Laton}+H_{Acero}$

Reemplazando por las ecuaciones:

$k_{Cu}\frac{A}{L_c}(T_{Cu}-T_c)=k_{Laton}\frac{A}{L_L}(T_{Laton}-T_c)+k_{Acero}\frac{A}{L_a}(T_{Acero}-T_c)\\\\k_{Cu}\frac{A}{L_c}T_{Cu}-k_{Cu}\frac{A}{L_c}T_{c}=k_{Laton}\frac{A}{L_L}T_{Laton}-k_{Laton}\frac{A}{L_L}T_c+k_{Acero}\frac{A}{L_a}T_{Acero}-k_{Acero}\frac{A}{L_a}T_c$

Ahora hay que despejar Tc:

$k_{Cu}\frac{A}{L_c}T_{Cu}-k_{Laton}\frac{A}{L_L}T_{Laton}-k_{Acero}\frac{A}{L_a}T_{Acero}=-k_{Laton}\frac{A}{L_L}T_c-k_{Acero}\frac{A}{L_a}T_c+k_{Cu}\frac{A}{L_c}T_{c}\\\\T_c=\frac{k_{Cu}\frac{A}{L_c}T_{Cu}-k_{Laton}\frac{A}{L_L}T_{Laton}-k_{Acero}\frac{A}{L_a}T_{Acero}}{-k_{Laton}\frac{A}{L_L}-k_{Acero}\frac{A}{L_a}+k_{Cu}\frac{A}{L_c}}$

Remplazamos por los valores:

$T_c=\frac{385\frac{0,0002}{0,13}.0-109\frac{0,0002}{0,173}84,5-50,2\frac{0,0002}{0,205}84,5}{-109\frac{0,0002}{0,173}-50,2\frac{0,0002}{0,205}+385\frac{0,0002}{0,13}}=15,6\°C$

Teniendo la temperatura en la unión, hallamos la corriente calorífica del acero:

$H=k\frac{A}{L}(T_h-T_c)=50,2\frac{W}{mK}.\frac{0,0002m^2}{0,205m}(84,5-15,6)=0,265W$