Question

Dada la función f(x)=tan(40x), encuentre f^' (0.175) usando las representaciones de diferencias finitas hacia adelante, atrás y central, con h=0.075. Compare los resultados obtenidos con la solución analítica. ¿Tienen sentido las respuestas obtenidas? Haga un análisis basado en la teoría y el conocimiento de la función acerca de lo que sucede en este caso.

Answer 1

Las diferencias finitas de la función hacia adelante y atrás son:

$\Delta f(x)=f(x+h)-f(x)\\\\\nabla f(x)=f(x)-f(x-h)$

Y la diferencia central:

$\delta f(x)=f(x+\frac{h}{2})-f(x-\frac{h}{2})$

Ahora nos solicitan que hallemos la derivada de la función en x=0,175 utilizando este método, debemos hallar la relación de cambio de la variable independiente respecto de la variable dependiente, para las tres diferencias finitas tenemos:

$f(x)=tan(40x)\\h=0,075\\\\\frac{\Delta f(x)}{h}=\frac{tan(40.(0,175+0,075))-tan(40.0,175)}{0,075}=-2,974495\\\\\frac{\nabla f(x)}{h}=\frac{tan(40.0,175)-tan(40.(0,175-0,075))}{0,075}=-3,818311\\\\\frac{\delta f(x)}{h}=\frac{tan(40.(0,175+0,0375))-tan(40.(0,175-0,0375))}{0,075}=-4,410403$

Ahora hallando la derivada analíticamente tenemos:

$f'(x)=(\frac{sen(40x)}{cos(40x)})'=40\frac{cos(40x).cos(40x)-sen(40x)(-40sen(40x))}{cos^2(40x)}=\frac{cos^2(40x)+sen^2(40x)}{cos^2(40x)}\\\\f'(x)=\frac{40}{cos^2(40x)}$

Y su valor en x=0,175:

$f'(0,175)=\frac{40}{cos^2(40.0,175)}=70,376863$

Existe una gran diferencia entre los resultados obtenidos por el método de las diferencias finitas y la derivada analítica. Pese a que el valor de h parecía pequeño, el argumento de la tangente estaba multiplicado por 40 con lo que:

$x\ñh=0,175\ñ0,015=> 40(x\ñh)=7\ñ3$

En la función tangente 3 representa ¡Casi medio ciclo de la función!, con lo que no se asemeja a un elemento diferencial del dominio, y a eso se debe tal diferencia entre el valor analítico y el del método empleado.

En efecto 7 corresponde a un ángulo de aproximadamente 401°, congruente con 41° y 3 equivale a un desplazamiento de aproximadamente 171°. La función tiene periodo 180° y es creciente, con lo cual en cada desplazamiento de 171° el valor de la función será cada vez menor por eso todas las derivadas halladas por diferencias finitas dieron negativas.