Question

Ejercicios de segunda ley de la termodinámica.

Resuelve y contesta cada uno de los ejercicios y reporta la solución de acuerdo con los siguientes pasos:

• Datos
• Modelo matemático
• Procedimiento con su formula detallado paso por paso y solución.
• Sustitución y operaciones (con eliminación de unidades)
• Resultado (unidades finales obtenidas)

1.- Un mol de un gas mono atómico se lleva por un ciclo abca como se muestra en la figura, de a hacia b es un proceso isotérmico a 400 °K y de c hacia a es un proceso adiabático.

a) Hallar la presión, el volumen y la temperatura para los puntos a, b y c.
b) Hallar el trabajo total en el ciclo.
c) Hallar los calores en cada uno de los procesos (Qab, Qbc y Qca).
d) Hallar la eficiencia del ciclo.

Answer 1

Para resolver esto se aplica el primer principio de la termodinámica, el cual dice de forma genérica que:

$\Delta U=Q+W$

Donde U es la energía interna del sistema, Q el calor aplicado y W el trabajo realizado por el sistema.

Comenzando con la resolución tenemos:

a) Tenemos como dato:

$n=1; numero~de~moles\\T_a=T_b=400K\\V_a=1m^3\\V_b=2m^3$

Ahora analizando cada tramo de la curva tenemos:

De "a" a "b":

El proceso es una isoterma, la ecuación de los gases ideales nos da:

$pV=nRT$

donde p es la presión, n, el número de moles, V el volumen y T la temperatura, por un lado tenemos:

$R=8,31\frac{m^3Pa}{mol.K}\\\\pV=1.8,31.400=3324$

Y como la temperatura es constante:

$p_aV_a=p_bV_b=3324$

de "b" a "c":

El proceso es una isobara, volviendo a plantear la ley de los gases ideales tengo:

$pV=nRT\\\\p_b=p_c=\frac{nRT_b}{V_b}=\frac{nRT_c}{V_c}\\\\\frac{T_b}{V_b}=\frac{T_c}{V_c}$

De "c" a "a":

En este tramo el proceso es adiabático. Donde se cumple que:

$pV^\gamma=C$

Donde C es una constante y $\gamma$ el coeficiente adiabático, para un gas monoatómico es 5/3.

Reemplazando tenemos:

$p_a=\frac{3324}{V_a}=\frac{3324}{1m^3}=3324Pa;p_b=\frac{3324}{V_b}=\frac{3324}{2m^3}=1662Pa$

Para el punto C:

$p_aV_a^\gamma=p_cV_c^\gamma\\p_c=p_b\\p_aV_a^\gamma=p_bV_c^\gamma$

Despejo el volumen en C:

$(\frac{p_aV_a^\gamma}{p_b})^\frac{1}{\gamma}=V_c\\\\V_c=(\frac{3324.1^\frac{5}{3}}{1662})^\frac{3}{5}=1,52m^3$

La temperatura en C se despeja de la fórmula de la isobara:

$\frac{T_b}{V_b}=\frac{T_c}{V_c}\\\\T_c=\frac{T_b}{V_b}V_c=\frac{400}{2}.1,52=303K$

Con lo que en los puntos a, b y c los valores de presión, volumen y temperatura son respectivamente 3324Pa, 1 metro cúbico y 400K para el punto a; 1662Pa, 2 metros cúbicos y 400K para el punto B y 1662Pa, 1,52 metros cúbicos y 303K para el punto C.

b) Interpretando la figura, el gas se expande isotérmicamente, luego se enfría isobáricamente y para finalmente ser comprimido adiabáticamente. En forma genérica el trabajo es:

$dW=F.dx = pAdx=pdV\\w_{ab}=\int\limits^b_a {p} \, dV =$

Se despeja la presión de la ley de los gases ideales y tengo para cada tramo:

$W_{ab}=\int\limits^b_a {\frac{nRT}{V}} \, dV=nRT.ln(\frac{V_b}{V_a})$

$W_{bc}=\int\limits^c_b {p} \, dV =p_b(V_c-V_b)=p_b(\frac{nRT_c}{p_b}-\frac{nRT_c}{p_b})=nR(T_c-T_b)$

$W_{ca}=\int\limits^a_c {p} \, dV =\int\limits^a_c {\frac{K}{V^{\gamma}}} \, dV=K\frac{(V_a^{1-\gamma}-V_c^{1-\gamma})}{1-\gamma}\\\\K=pV^{\gamma}=>W_{ca}=pV^{\gamma}\frac{(V_a^{1-\gamma}-V_c^{1-\gamma})}{1-\gamma}=\frac{p_aV_a-p_cV_c}{1-\gamma}=\frac{nR(T_a-T_c)}{1-\gamma}$

Y el trabajo total es:

$W=W_{ab}+W_{bc}+W_{ca}$

Ahora reemplazando en las ecuaciones halladas tengo:

$W_{ab}=1.8,31.400.ln(\frac{2}{1})=2304J\\\\W_{bc}=1.8,31(303K-400K)=-806J\\\\W_{ca}=\frac{1.8,31(400K-303K)}{1-\frac{5}{3}}=-1209J\\\\W=2304J-806J-1209J=289J$

El trabajo total del ciclo es 289J

c) Replanteando la primera ley de la termodinámica:

$\Delta U=\Delta Q + W$

En la isoterma no cambia la energía interna ya que esta es función solo de la temperatura, entonces queda:

$\Delta Q_{ab}+W_{ab}=0\\\Delta Q_{ab}=W_ab$

En la isobara tengo:

$Q_{bc}=\Delta U - W=C_p(T_c-T_b)-W$

Pero la capacidad calorífica molar del gas monoatómico a presión constante es:

$C_v=\frac{5}{2}R$

Queda:

$Q_{bc}=\Delta U - W=\frac{5}{2}R(T_c-T_b)-W$

En la compresión adiabática el sistema no recibe calor por lo tanto

$Q_{ca}=0$

Reemplazando tenemos para los calores:

$Q_{ab}=2304J\\Q_{bc}=\frac{5}{2}.8,31(303K-400K)-(-806J)=-1209J\\Q_{ca}=0$

Con lo que entre a y b el sistema recibe 2304J de calor, entre b y c disipa 1209J y por último entre c y a no recibe ni pierde calor.

d) La eficiencia del ciclo térmico es la relación entre la energía neta entregada y la energía inyectada al mismo. Si del punto anterior hacemos el balance tenemos que la máquina recibió de la fuente caliente:

$Q_c=2304J$ durante la isoterma.

Y entregó a la fuente fría:

$Q_f=1209J+806J=2015J$ durante la isobara, sumando el calor disipado y el trabajo requerido para llegar a C.

Tenemos

$\eta=\frac{W}{E_{apl}}=\frac{Q_c-Q_f}{Q_c} = 1-\frac{Q_f}{Q_c}$

Reemplazando:

$\eta=1-\frac{2015}{2304}=0,125$

Con lo que el rendimiento de la máquina térmica es del 12,5%.