Question

EJERCICIO DIFÍCIL

¿Cómo cálculo la intersección entre las siguientes dos funciones, sin graficar?

$y = x\pi -{x}^{2}$
$y = sin(x)$
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Answer 1

1. La ecuación de la parábola podemos escribirla así

            $y-\dfrac{\pi^2}{4}=-\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)^2$

Teniendo en cuenta que la parábola pasa por los puntos $(0,0)$ y $(\pi,0)$ , que son precisamente los puntos por los que pasa la gráfica de la función seno.

La cuestión es si hay más puntos de intersección, para ello hallemos el dominio de la ecuación

                                     $\pi x -x^2 = \sin x$

Sabemos que $\sin: \mathbb{R}\to [-1,1]$ por ende

$\pi x -x^2 \in [-1,1] \iff (x^2-\pi x-1\leq 0)\wedge (x^2-\pi x+1\geq 0)\\ \\\Longrightarrow x\in \left[\dfrac{\pi-\sqrt{\pi^2+4}}{2} , \dfrac{\pi-\sqrt{\pi^2-4}}{2}\right]\cup \left[\dfrac{\pi+\sqrt{\pi^2-4}}{2} , \dfrac{\pi+\sqrt{\pi^2+4}}{2}\right]\sim x\in [-0.29 , 0.35]\cup [2.78,3.43]$

• En el intervalo [-0.29 , 0 ) el trozo de parábola está más abajo de la función sen: $x \pi -x^2 < \sin x$
• En el intervalo (0,  π) la parábola está por encima de la función sen: $x \pi -x^2 > \sin x$
• En el intervalo (π , 3.43) el trozo de parábola está más abajo de la función sen: $x \pi -x^2 < \sin x$

Entonces los únicos puntos de intersección ocurren cuando x = 0 y x = π