Question

Calcular el valor de la función f(x)=ex en el punto x=0.5, utilizando la representación seno como serie de McLaurin.​

Answer 1

La serie de McLaurin es un caso especial de la serie de Taylor en la que la función será aproximada alrededor del punto del dominio x=0, para que se pueda utilizar esta serie, la función debe estar definida y tener continuidad en el punto x=0, su expresión maestra es:

$f(x)=f(0)+f'(0).x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

La función a aproximar será:

$f(x)=e^x$

Sus derivadas son:

$f'(x)=e^{x}\\f''(x)=e^{x}\\f'''(x)=e^{x}\\...\\f^{(n)}(x)=e^{x}$

Con lo que todas ellas valen 1 en el punto x=0, la serie queda;

$e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+...+\frac{1}{n!}x^n$

Supongamos que queremos una precisión de tres dígitos decimales, eso significa que el error debe ser menor a 0,0001, tenemos:

$|\frac{1}{n!}x^n|<1x10^{-4}$

Vamos a acotar |x|=1, esto significa en un entorno de radio 1 del punto x=0, nos queda:

$|\frac{1}{n!}|<1x10^{-4}\\n!>1x10^{4}$

$7!=5040\\8!=40320$

Nos da que necesitamos un polinomio de grado 7 para que el resultado sea correcto hasta el tercer dígito decimal en el intervalo del dominio [-1;1], queda:

$e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\frac{1}{5!}x^5+\frac{1}{6!}x^6+\frac{1}{7!}x^7\\\\e^{0,5}=1+0,5+\frac{1}{2}0,5^2+\frac{1}{6}0,5^3+\frac{1}{24}0,5^4+\frac{1}{120}0,5^5+\frac{1}{720}0,5^6+\frac{1}{5040}0,5^7=\\\\e^{0,5}=1,648721168$

En efecto el valor obtenido con la calculadora y considerado el valor verdadero, es:

$e^{0,5}=1,6487212707$

Con lo cual obtuvimos una precisión de 6 cifras decimales para $e^{0,5}$ con un polinomio de McLaurin de grado 7.