Question

PROGRAMACIÓN LINEAL
Fabricación de juguetes. Pablo y Emilia tienen mucha habilidad para hacer juguetes artesanales, por lo que se han organizado para producir carritos y aviones para Navidad.
En la siguiente tabla se indica el tiempo necesario para el ensamble y acabado de cada tipo de juguete.
Carrito Avión
ensamble 2 horas 3 horas
acabados 3 horas 4 horas
Cuentan con dos personas para el ensamble, que trabajan cada una 40 horas semanales; y tres personas para los acabados, que trabajan 100 horas entre todas. Además, en cada carrito tendrán una utilidad de 10 dólares y en cada avión de 15. Determinamos cuántos carritos y aviones deben fabricarse en la semana para obtener la máxima utilidad.

Answer 1

La máxima Utilidad es de  375  dólares y se obtienen cuando todos los recursos se disponen a la producción de 25 aviones semanales, sin producción de carritos.  

Explicación paso a paso:  

a. Plantee con todos los elementos que caracterizan el modelo de programación lineal

Llamaremos:  

X1 = número de carritos a fabricar en la semana

X2 = número de aviones a fabricar en la semana

Función objetivo: Maximizar Z = 10X1 + 15X2 (Utilidad)  

Condiciones del problema:  

2X1  +  3X2  ≤  80

3X1  +  4X2  ≤  100

Condiciones de no negatividad:  

X1 ≥ 0  

X2 ≥ 0  

b. Aplicamos el método simplex.  

1.- Las condiciones del problema se escriben como igualdades agregando variables de holgura:  

Función objetivo: Maximizar Z(x1,x2,h1,h2)  =  10X1  +  15X2  +  0h1  +  0h2

Condiciones del problema:  

2X1  +  3X2  +  h1  =  80

3X1  +  4X2  +  h2  =  100

2.- Se construye una tabla con los coeficientes de las condiciones y la función objetivo (en negativo):  

$\begin{array}{r|l}\underline {X1 ~ X2 ~ h1 ~ h2 & B}\\2 \quad 3 \quad 1 \quad 0 & 80 \qquad h1\\3 \quad 4 \quad 0 \quad 1 & 100 \qquad h2\\\overline{-10\quad -15\quad 0\quad 0&0}\\\end{array}$

Se obtiene la primera solución: Z(0,0,80,100) = 0  

3.- Se transforma la tabla para obtener una nueva solución. Para ello:  

3.1.- Se selecciona la columna pivote aquella con el número negativo de mayor valor absoluto en la última fila.  

Segunda columna.

3.2.- Se selecciona la fila pivote aquella con el menor cociente positivo entre la columna B y la columna pivote.  

Los cocientes positivos serian:  80/3  =  26.66    y    100/4  =  25

Segunda fila.

3.3.- El elemento donde se cruzan la fila y la columna pivote es el elemento pivote. Este se transforma en uno (1) dividiendo la fila pivote entre el valor del elemento pivote.  

3.4.- Se anula el resto de la columna pivote usando el uno como pivote.  

Se multiplica fila 2 por (-3) y se suma a la fila 1.  

Se multiplica fila 2 por (15) y se suma a la fila 3.  

3.5.- Se intercambian las variables de la columna pivote y la fila pivote,  

$\begin{array}{r|l}\underline {X1 ~ X2 ~ h1 ~ h2 & B}\\ -\frac{1}{4} \quad 0 \quad 1 \quad -\frac{3}{4}&5 \qquad h1\\ \frac{3}{4} \quad 1 \quad 0 \quad \frac{1}{4}&25 \qquad X2\\\overline{\frac{5}{4} \quad 0\quad 0\quad \frac{15}{4}&375}\\\end{array}$

Se obtiene la segunda solución:    Z(0,25,5,0)  =  375

4.- Se revisa la última fila de la tabla y, ya que no hay valores negativos, se selecciona la mejor solución.  

La solución máxima de la función objetivo (Utilidad) es    Z  =  375    cuando se producen 25 aviones semanales, sin producción de carritos.