Question

DERIVADAS

1. A continuación, se presentan los ejercicios gráficas y problemas de la tarea 3 asignados en este grupo de trabajo.

2. En el ejercicio 2 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación.

Answer 1

Planteemos la definición de derivada para toda función siendo x la variable independiente y h un incremento infinitesimal que evaluaremos en el límite:

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Justamente de aplicar esta ecuación a cada función y relación entre ellas se obtienen las reglas de derivación.

1) Apliquemos la definición de derivada al ejercicio propuesto:

$f(x)=3x^3+2x\\\\f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{3(x+h)^3-2(x+h)-(3x^3-2x)}{h}$

Ahora desglosamos todas las operaciones, no sin antes tener en cuenta que el cubo de un binomio es:

$(x+h)^3=x^3+3x^2.h+3xh^2+h^3$

Haciendo esta salvedad queda:

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{3(x^3+3hx^2+3xh^2+h^3)-2x-2h-3x^3+2x}{h}\\\\f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{3x^3+9hx^2+9xh^2+3h^3-2h-3x^3}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{9hx^2+9xh^2+3h^3-2h}{h}$

Ahora sacamos factor común de h:

$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{(9x^2+9xh+3h^2-2)h}{h}=\lim_{h \to 0} (9x^2+9xh+3h^2-2)\\\\f'(x)=9x^2-2$

Esto último porque los términos que contengan a h tenderán a 0. Comparando con el resultado aplicando reglas de derivación tenemos:

$f'(x)=3.3x^{3-1}-2.1.x^{1-1}=9x^2-2$

Tenemos que la derivada de la función es $f'(x)=9x^2-2$

2) La función propuesta es:

$f(x)=(\sqrt{x}+1)(2x^2-4)$

Para efectuar esta derivada aplicamos la regla de producto, la cual dice:

$(f.g)'=f'g+fg'$

Y reescribimos la función como:

$f(x)=(x^{\frac{1}{2}}+1)(2x^2-4)$

Queda:

$f'(x)=(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}})(2x^2-4)+4x(x^{\frac{1}{2}}+1)$

Desglosando los productos:

$f'(x)=(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}})(2x^2-4)+4x(x^{\frac{1}{2}}+1)\\f'(x)=(x^{\frac{3}{2}}-2x^{\frac{1}{2}}+4x^{\frac{3}{2}}+4x)=5x^{\frac{3}{2}}+4x-2x^{\frac{1}{2}}\\\\f'(x)=5\sqrt{x^3}+4x-2\sqrt{x}$

Reordenando nos queda que la derivada de la función es $f'(x)=5x\sqrt{x}+4x-2\sqrt{x}$