Tres circunferencias, cuyos radios miden 5cm, 2cm y 7 cm, respectivamente son tangentes externas. ¿Cuánto miden los ángulos en las uniones que forman en los centros de las circunferencias?
Respuestas
Para poder calcular los ángulos, necesitamos utilizar la ley de los cosenos, pues sabemos todos los lados de un triangulo (es la suma de sus radios)
El triángulo formado por los radios tiene los siguientes lados
5 + 7 = 12
5 + 2 = 7
2 + 7 = 9
y la ley de los cosenos dice que cada ángulo se
c² = a² + b² - 2abcos(α)
Donde α es el ángulo que encara al lado c, que es en nuestro caso
7² = 12² + 9² -2*12*9cos(α)
216cos(α) = 12² + 9² - 7²
cos α = 176/216
α = 35.431 º
Este es uno de los ángulos, otro de los ángulos es
9² = 7² + 12² -2*7*12cos(β)
81 = 193 - 168cos(β)
cosβ = (193-81)/168 = 112/168 = 2/3
β = 48.189 º
Ahora, el último ángulo lo podemos obtener de la fórmula α + β + γ = 180
γ = 180 - α - β = 180 - 35.431 - 48.189 = 96.38 º
Como se vio, sabiendo los lados de un triángulo somos capaces de obtener los ángulos de este