Question

Dado el triángulo A (-2,-2), B (5, 8) y C (-4, 5)
Hallar:
a) Las ecuaciones de los lados
b) Las ecuaciones simétricas de los lados
c) Los ángulos internos
d) Las ecuaciones de las medianas y el punto de intersección
e) Las ecuaciones de las mediatrices y el punto de intersección
f) Las ecuaciones de las alturas y el punto de intersección

Answer 1

Lo primero que haremos es encontrar la pendiente de cada lado:

Pendiente AB

$m=\frac{8-(-2)}{5-(-2)}=\frac{10}{7}$

Pendiente BC

Answer 2

Dado los vértices de un triángulo ABC.

a) Ecuaciones de los lados:

$AB: y=\frac{10}{7}x + \frac{6}{7}$

$AC: y=-\frac{7}{2}x-9$

$BC: y=\frac{1}{3}x+\frac{19}{3}$

b) Ecuaciones simétricas de los lados:

$AB: \frac{5}{3}x +\frac{7}{6}y=1$

$AC: -\frac{7}{18}x -\frac{1}{9}y=1$

$BC: -\frac{1}{19}x +\frac{3}{19}y=1$

c) Ángulos internos:

A: 51°

B: 39.6°

C: 89.4°

d) Ecuaciones de las medianas y el punto de intersección:

$Mab: y=-\frac{4}{11}x+\frac{39}{11}$

$Mac: y=\frac{13}{16}x+\frac{63}{16}$

$Mbc: y=\frac{17}{5}x+\frac{24}{5}$

Punto de intersección: (-1/3, 11/3)

e) Ecuaciones de las mediatrices y el punto de intersección:

$M_{AB}: y=-\frac{7}{10}x+\frac{81}{20}$

$M_{AC}: y=\frac{2}{7}x+\frac{33}{14}$

$M_{BC}: y=-3x+8$

Punto de intersección: (79/46, 131/46)

f) Ecuaciones de las alturas y el punto de intersección:

$Altura_{C}: y=-\frac{7}{10}x+\frac{11}{5}$

$Altura_{B}: y=\frac{2}{7}x+\frac{46}{7}$

$Altura_{A}: y=-3x-8$

Punto de intersección: (-102/23, 122/23)

Explicación:

a) Las ecuaciones de los lados

.

Ecuación de una recta: y = m(x-x₀) + y₀

Ec. AB:

m = (8+2)/(5+2) = 10/7

Sustituir;

y = 10/7(x+2) -2

y = 10/7x + 20/7 - 2

y = 10/7x + 6/7

Ec. AC:

m = (5+2)/(-4+2) = -7/2

Sustituir;

y = -7/2(x+2) -2

y = -7/2x - 7 - 2

y = -7/2x - 9

Ec. BC:

m = (5-8)/(-4-5) = -3/-9 = 1/3

Sustituir;

y = 1/3(x-5) + 8

y = 1/3x - 5/3 +8

y = 1/3x + 19/3

b) Las ecuaciones simétricas de los lados

La ecuación simétrica de una recta: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}= 1$

Ec. AB:

0 = 10/7x + 6/7

x = -6/7(7/10) = -3/5 ⇒ a = -3/5

y = 6/7 ⇒ b = 6/7

Sustituir;

$-\frac{5}{3}x+\frac{7}{6}y= 1$

Ec. AC:

0 = -7/2x - 9

x = -9(2/7) = -18/7 ⇒ a = -18/7

y = -9 ⇒ b = -9

Sustituir;

$-\frac{7}{18}x-\frac{y}{9}= 1$

Ec. BC:

0 = 1/3x + 19/3

x = -19/3(3) = -19 ⇒ a = -19

y = 19/3 ⇒ b = 19/3

Sustituir;

$-\frac{x}{19}+\frac{3}{19}y= 1$

c) Los ángulos internos

.

Lados del triángulo;

AB = √[(5+2)²+(8+2)²] = √149

AC =√[(-4+2)²+(5+2)²] = √53

BC = √[(-4-5)²+(5-8)²] = 3√10

Si se establece una referencia tomando al eje x positivo como 0°;

Ф = tan⁻¹(10/7) = 55°

β = tan⁻¹(7/2) = 74°

Siendo;

A = 180 - Ф - β

A = 180 - 55 - 74

A = 51°

Aplicar el teorema del seno:

$\frac{BC}{sen(A)}=\frac{AB}{sen(C)}=\frac{AC}{sen(B)}$

Despejar C;

C = Sen⁻¹[(AB/BC)Sen(A)]

Sustituir;

C = Sen⁻¹[(√149/3√10)Sen(51°)]

C = 89.4°

La suma de los ángulos internos es 180°;

B = 180 - A - C

B = 180 - 51 - 89.4

B = 39.6°

d) Las ecuaciones de las medianas y el punto de intersección

.

Establecer los puntos medios de cada lado del triángulo;

Punto medio de un segmento de recta:

$x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$ y $y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$

Mab:

x = (-2+5)/2 = 3/2

y = (-2+8)/2 = 3

Mab = (3/2, 3)

Ec. Recta (puntos C y Mab);

m = (3-5)/(3/2+4) = -4/11

Sustituir;

y = -4/11(x+4) + 5

y = -4/11x 39/11

Mac:

x = (-2-4)/2 = -3

y = (-2+5)/2 = 3/2

Mac = (-3, 3/2)

Ec. Recta (puntos B y Mac);

m = (3/2-8)/(-3-5) = 13/16

Sustituir;

y = 13/16(x-5) + 8

y = 13/16x + 63/16

Mbc:

x = (5-4)/2 = 1/2

y = (8+5)/2 = 13/2

Mbc = (1/2, 13/2)

Ec. Recta (puntos A y Mbc);

m = (13/2+2)/(1/2+2) = 17/5

Sustituir;

y = 17/5(x+2) - 2

y = 17/5x + 24/5

Punto de intersección:

$x=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}$

$y=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}$

Sustituir;

x = [(3/2)+(-3)+(1/2)]/3 = -1/3

y = [(3)+(3/2)+(13/2)]/3 = 11/3

e) Las ecuaciones de las mediatrices y el punto de intersección

.

Son las rectas perpendicular a lo lados de los triángulos;

La pendiente de la mediatriz es la pendiente inversa y de signo contrario a  la recta a es perpendicular;

Ec. recta mediatriz de AB:

Mab = (3/2, 3)

AB: m = 10/7   ⇒ m₁ = -7/10

Sustituir;

y = -7/10(x-3/2)+3

y = -7/10x + 81/20

Ec. recta mediatriz de AC:

Mac = (-3, 3/2)

AC: m = -7/2   ⇒ m₂ = 2/7

Sustituir;  

y = 2/7(x+3) + 3/2  

y = 2/7x + 33/14

Ec. recta mediatriz de BC:

Mbc = (1/2, 13/2)

BC: m = 1/3   ⇒ m₃ = -3

Sustituir;  

y = -3(x-1/2)+13/2  

y = -3x + 8

Punto de intersección:  

Usando dos ecuaciones de las mediatrices;

-2/7x + y = 33/14 (1)

3x + y = 8    (2)

Sistema de ecuaciones de 2×2;

Despejar x de 2 ;

x = (8-y)/3

Sustituir en 1;

-2/7(8-y)/3 + y = 33/14

-16/21 +2/21y + y = 33/14

23/21y = 33/14 + 16/21

y = 131/42(21/23)

y = 131/46

Sustituir en x;

x = (8-131/46)/3

x = 79/46

f) Las ecuaciones de las alturas y el punto de intersección.

Ec. recta altura C:

C = (-4, 5)

AB: m = 10/7   ⇒ m₁ = -7/10

Sustituir;

y = -7/10(x+4)+5

y = -7/10x + 11/5

Ec. recta altura B:

B = (5, 8)

AC: m = -7/2   ⇒ m₂ = 2/7

Sustituir;  

y = 2/7(x-5) + 8  

y = 2/7x + 46/7

Ec. recta altura A:

A = (-2, -2)

BC: m = 1/3   ⇒ m₃ = -3

Sustituir;  

y = -3(x+2) - 2

y = -3x - 8

Punto de intersección:  

Usando dos ecuaciones de las rectas altura;

-2/7x + y = 46/7 (1)

3x + y = -8    (2)

Sistema de ecuaciones de 2×2;

Despejar x de 2 ;

x = (-8-y)/3

Sustituir en 1;

-2/7(-8-y)/3 + y = 46/7

16/21 +2/21y + y = 46/7

23/21y = 46/7 - 16/21

y = 122/21(21/23)

y = 122/23

Sustituir en x;

x = (-8-122/23)/3

x = -102/23