Question

Sea X la distancia en centímetros que un estudiante de bachillerato puede
saltar en una prueba de salto largo. Suponga que X tiene una distribución
exponencial con parámetro λ = 0,01386. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que
la distancia esté entre 100 y 200 centímetros? (b) ¿Cuál es la probabilidad
de que la distancia sea mayor que la distancia promedio en más de 2
desviaciones estándar?

Answer 1

La distancia de salto en centímetros planteada sigue una distribución exponencial la cual tiene la función de distribución:

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$

La esperanza de esta función es:

$E(X)=\frac{1}{\lambda}$

Y la varianza es:

$V(x)=\frac{1}{\lambda^2}$

a) Al ser esta una función de distribución continua, hallamos la probabilidad de encontrar el valor de la variable aleatoria X en un intervalo [a,b] como:

$P(a\leq x\leq b)=\int\limits^b_a \lambda e^{-\lambda x} \, dx$

Reemplazando valores tenemos:

$P(100\leq x\leq 200)=\int\limits^{200}_{100} \lambda e^{-\lambda x} \, dx=\\P(100\leq x\leq 200)=\lambda\int\limits^{200}_{100}e^{-\lambda x} \, dx=\lambda[\frac{e^{-\lambda.200}}{-\lambda}-\frac{e^{-\lambda.100}}{-\lambda}]\\P(100\leq x\leq 200)=e^{-\lambda.100}-e^{-\lambda.200}=e^{-0,01386.100}-e^{-0,01386.200}=0,187$

Con lo que la probabilidad de que la distancia esté entre 100 y 200 centímetros es del 18,7%.

b) En toda función distribución, el desvío estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza, en este caso es:

$\sigma = \sqrt{V(X)}=\sqrt{\frac{1}{\lambda^2}}=\frac{1}{\lambda}$

Como nos solicitan la probabilidad de que la distancia sea mayor que la distancia promedio en más de 2 desviaciones estándar hacemos:

$d=E(x)+2\sigma=\frac{1}{\lambda}+2(\frac{1}{\lambda})=\frac{3}{\lambda}$

Y la probabilidad es:

$P(x\geq\frac{3}{\lambda} )=\int\limits^\infty_{\frac{3}{\lambda}} \lambda e^{-\lambda x} \, dx= \lim_{x \to \infty} \lambda \int\limits^x_{\frac{3}{\lambda}} e^{-\lambda x} \, dx =\lim_{x \to \infty} \lambda(\frac{e^{-\lambda x}}{-\lambda}-\frac{e^{-\lambda .\frac{3}{\lambda}}}{-\lambda})\\P(x\geq \frac{3}{\lambda})=\lim_{x \to \infty} e^{-3}-e^{-\lambda x}=e^{-3}=0,0498$

Tenemos que la probabilidad de que la distancia sea mayor que la distancia promedio en más de 2 desviaciones estándar es del 4,98%.