Question

) Una bola de 1.00 kg es lanzada exclusivamente por la acción del antebrazo, que gira en torno a la articulación del codo bajo la acción del tríceps La bola se acelera uniformemente desde el reposo hasta 10.0 ms en 0.350 s, punto en el que se le libera. Calcule a) la aceleración angular del brazo y b) la fuerza que se requiere del tríceps. Considere que el antebrazo tiene una masa de 3.70 kg y que gira como una barra uniforme en torno a un eje en su extremo.

Answer 1

Si la bola es lanzada exclusivamente por la acción del antebrazo, consideramos al codo como un punto de apoyo fijo y queda evaluar el movimiento del antebrazo.

a) La aceleración lineal que sufre la bola en el antebrazo es:

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{10\frac{m}{s}}{0,35s}=28,6\frac{m}{s^2}$

Con lo que la velocidad tangencial queda:

$v_t=at$

Pero en relación a la velocidad angular es:

$v=wr\\w=\frac{v}{r}$

Y la aceleración angular queda:

$\alpha=\frac{dw}{dt} ~~~Aceleracion~angular\\w=\frac{v}{r}=\frac{at}{r}\\\\\alpha=\frac{dw}{dt}=\frac{a}{r}=$

A falta de la longitud del antebrazo que será el radio de la trayectoria, adoptamos r=1m.

$\alpha=\frac{a}{r}=\frac{28,6\frac{m}{s^2}}{1m}=28,6s^{-2}$

Con lo que la aceleración angular es de 28,6 radianes por segundo cuadrado.

b) En el triceps actúan dos fuerzas, la fuerza de la bola:

$F_e=m_e.a$

Y la fuerza que se ejerce sobre la barra cuyo torque es:

$F_b=m_b.a_b$

La aceleración lineal de la barra se toma en su centro de masas:

$rcm_b=\frac{1}{M}\int\limits^{}_M {x} \, dm =\frac{1}{V}\int\limits^{}_V {x} \, dV\\\\dV=A.dx\\rcm_b=\frac{A}{V}\int\limits^L_0 {x} \, dx=\frac{AL^2}{2V}=\frac{L}{2}$

Quedando la aceleración lineal del antebrazo:

$a_b=\alpha.r_b=28,6\frac{L}{2}=28,6\frac{1}{s^2}.\frac{1m}{2}=14,3\frac{m}{s^2}$

La fuerza total en el triceps queda:

$F_t=m_e.a_e+m_b.a_b=1kg.28,6\frac{m}{s^2}+3,7kg.14,3\frac{m}{s^2}=81,5N$

Con lo cual la fuerza total sobre el triceps es de 81,5N