Question

Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de Geogebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): a) ¿Son pararelos los siguientes planos 1:2x-4y+10z=5 y 2:6x-12y+30z=15? Justifique su respuesta empleando un producto cruz. Grafique ambos planos.

Answer 1

Para verificar si dos planos son paralelos, podemos evaluar si los vectores asociados a dichos planos lo son, para ello se puede emplear el producto vectorial o producto cruz, el producto vectorial entre dos vectores paralelos da cero y la forma de obtenerlo es:

$v_1 =(x_1,y_1,z_1)\\v_2=(x_2,y_2,z_2)\\\\v_1xv_2=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\x_1&y_1&z_1\\x_2&v_2&z_2\end{array}\right]$

Donde i, j y k son los versores canónicos asociados a cada eje del espacio. Para los planos dados los vectores asociados son los formados por los coeficientes:

$v_1=(2,-4,10)\\v_2=(6,-12,30)$

Hacemos el producto vectorial:

$(2,-4,10)x(6,-12,30)=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&-4&10\\6&-12&30\end{array}\right] =i((-4).30-(-12).10)-j(2.30-6.10)+k(2.(-12)-6.(-4))=(0,0,0)$

Los dos vectores asociados son paralelos, por ende los planos son paralelos.

En las imágenes adjuntas se ve la gráfica de ambos planos en Geogebra, de la cual se puede concluir que ambas ecuaciones describen el mismo plano, en efecto, la ecuación del segundo plano, si se divide miembro a miembro por 3, da la del primer plano.