• A continuación, se presentan las ecuaciones de 2 planos. Debe emplearse un producto cruz para verificar si dichos planos son paralelos, y en caso de no serlo, deben establecerse las ecuaciones paramétricas que describan la recta que se forma en la intersección de éstos.
1:n5x-7y+3z=15
n2:9x+2y+3z=5
algebra lineal
agradezco la ayuda urg......
Respuestas
la recta de intersección tiene por ecuación x = -27t + 75/73, y = 12t - 110/73, z = 73t
Para poder determinar Si hay o no una intersección, debemos recordar que el vector normal de un plano ax + by + cz + d = 0, es el vector v = (a,b,c), luego se tiene
n1: 5x - 7y + 3z = 15 ⇒ v1 = (5, -7, 3)
n2:9x + 2y + 3z = 5 ⇒ v2 = (9, 2, 3)
Ahora, el producto cruz de los vectores v1 y v2 es
v1 x v2 = (5, -7, 3) x (9, 2, 3) = (-7*3 - 2*3,-( 5*3 - 3*9), 5*2 + 7*9)
v1 x v2 = (-27, 12, 73)
Como se ve, los planos no son paralelos, pues el producto cruz de sus vectores directores no es el vector nulo
Una vez hecho esto, debemos determinar un punto (x,y,z) que pertenezca a ambos planos, lo podemos hacer dándole valores a z, como z = 0, en dicho caso queda
5x - 7y = 15
9x + 2y = 5
Si se utiliza el método de cramer, se deduce que
x = (15*2 + 7*5)/(5*2+9*7) = 75/73
y = (5*5 - 15*9)/(5*2+9*7) = -110/73
Por lo que el punto (75/73, -110/73, 0) pertenece a ambos planos y por consecuencia a la recta de intersección. Habiendo hecho esto, la recta tiene por ecuación
x = -27t + 75/73
y = 12t - 110/73
z = 73t