Question

encuentra los factores de cada producto y ubicarlos en la fila y columna respectiva Se observa El ejemplo ​

Answer 1

Los factores que completan la columna de la izquierda son:

Segunda fila: $x+1$

Tercera fila: $\frac{x+2}{x+1}$

Cuarta fila: $\frac{x-1}{x+2}$

Quinta fila: $\frac{x-2}{x-1}$

Sexta fila: $\frac{x+3}{x-2}$

Desarrollo paso a paso:

Mirando las primeras dos filas de la tabla, tenemos que para una fila i y llamando p(x) a los polinomios de la columna de la izquierda y q(x) a los de la derecha es:

$q(x)_i=p(x)_i.q(x)_{i-i}$

Así en el primer caso es:

$q(x)_i=3x^2-x-4\\q(x)_{i-1}=3x-4\\p(x)_i=x+1\\\\p(x)_iq(x)_{i-1}=(3x-4)(x+1)=3x^2-4x+3x-4=3x^2-x-4$

Ahora tenemos que encontrar los $p(x)_i$ que aplicados a la relación que acabamos de encontrar den los $q(x)_i$. Tenemos:

$q(x)_i=p(x)_i.q(x)_{i-i}\\\\p(x)_i=\frac{q(x)_i}{q(x)_{i-1}}$

Es decir, el polinomio de la fila que vamos a resolver dividido el de la fila de arriba, para ello hay que factorizar los polinomios. En cada uno resolvemos las ecuaciones cuadráticas, el de la segunda fila nos da:

$q(x)_2=3x^2-x-4=3(x-x_1)(x-x_2)\\\\x_{1,2}=\frac{1\ñ\sqrt{1^2-4.3.(-4)} }{2.3}=\frac{1\ñ7}{6}\\\\q(x)_2=3(x-\frac{4}{3})(x+1)$

Y si hacemos lo propio con el de la tercera fila:

$q(x)_3=3(x+2)(x-\frac{4}{3})$

Con lo que para el p(x) de la tercera fila tengo:

$p(x)_3=\frac{3(x+2)(x-\frac{4}{3})}{3(x-\frac{4}{3})(x+1)}=\frac{x+2}{x+1}$

Ahora factorizamos el q(x) de la cuarta fila:

$q(x)_4=3x^2-7x+4=3(x-\frac{4}{3})(x-1)$

Y para el p(x) de la cuarta fila queda:

$p(x)_4=\frac{q(x)_4}{q(x)_3}=\frac{3(x-\frac{4}{3})(x-1)}{3(x+2)(x-\frac{4}{3})}=\frac{x-1}{x+2}$

Ahora seguimos con la quinta fila:

$q(x)_5=3x^2-10x+8=3(x-2)(x-\frac{4}{3})\\\\p(x)_5=\frac{q(x)_5}{q(x)_4}=\frac{3(x-2)(x-\frac{4}{3})}{3(x-\frac{4}{3})(x-1)}=\frac{x-2}{x-1}$

Y con la sexta fila:

$q(x)_6=3x^2+5x-12=3(x-\frac{4}{3})(x+3)\\\\p(x)_6=\frac{q(x)_6}{q(x)_5}=\frac{3(x-\frac{4}{3})(x+3)}{3(x-2)(x-\frac{4}{3})}=\frac{x+3}{x-2}$