Question

Hallar las ecuaciones las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas, de las rectas, y grafíquelas con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab), de la recta que pasa por el punto (2,-1,4) y tiene por números directores (3,-1.6)

Answer 1

Toda recta en el espacio se puede escribir mediante las ecuaciones paramétricas:

$x=x_0+x_v t\\y=x_0+y_v t\\z=x_0+z_v t$

donde $(x_0,y_0,z_0)$ son las coordenadas de un punto de la recta  y $(x_v,y_v,z_v)$ es el  vector director de la recta, escribiendo estas ecuaciones de forma vectorial llegamos a la ecuación vectorial:

$(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+\lambda(x_v,y_v,z_v), \lambda\epsilon R$

y por último la ecuación simétrica o continua:

$\frac{x-x_0}{x_v} =\frac{y-y_0}{y_v} =\frac{z-z_0}{z_v}$

Que es la ecuación donde eliminamos el parámetro.

Con esto, si tenemos que (2,-1,4) es un punto en la recta, y (3,-1,6) el vector director, hallamos las ecuaciones paramétricas:

$x=2+3t\\y=-1-t\\z=4+6t \\t\epsilon R$

La ecuación vectorial:

$(x,y,z)=(2,-1,4)+\lambda(3,-1,6), \lambda\epsilon R$

Y la ecuación simétrica.

$\frac{x-2}{3} =\frac{y-(-1)}{-1} =\frac{z-4}{6}\\\frac{x-2}{3} =\frac{y+1}{-1} =\frac{z-4}{6}$

En la figura adjunta se muestra la gráfica de la recta con Geogebra ingresando la ecuación continua, se marcó el punto (2,-1,4) y el programa calculó la expresión vectorial mostrando el vector (-0,17;0,06;-0,33) como vector director, el mismo vector director planteado dividido por -18.