Question

Demostrar que entre todos los pares de numeros positivos x e y tales que xy= 100 el que hace la suma minima es x=y=10

Answer 1

Para demostrar que entre todos los pares de números positivos XE y tales que XY=100 el que hace la suma mínima ees X=10 debemos debemos plantear las ecuaciones necesarias que nos permitan resolver lo preguntado, en este caso tenemos :

S(x,y) = x + y

Es la ecuación que queremos minimizar (la suma de los dos números)

Pero, además sabemos que x e y satisfacen x*y = 100 o y = 100/x. Sabiendo esto la función S se puede expresar como

S(x) = x + 100/x

Ahora, tenemos que optimizar esta ecuación (derivándola e igualándola a cero), es decir

S'(x) = 1 - 100/ x² = 0

1 = 100 / x²

x² = 100

x = 10  

Entonces, el valor que minimiza a S es x = 10, y = 100/x = 10