Question

2) Dadas A y B matrices cuadradas de orden 3, ¿cuál de las siguientes igualdades es cierta?
A. |2A|= 6 |A|
B. |A+ B|= |A| + |B|
C. |2A|= 2 |A|
D. |AB|= |B||A|

Answer 1

La afirmación correcta es la D.

Desarrollo:

Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 vamos a plantearlas como:

$A=\left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right] ; B=\left[\begin{array}{ccc}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{array}\right]$

Vamos a hallar el determinante del producto de la matriz A por un escalar k:

$|kA|=|k.\left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right]|=|\left[\begin{array}{ccc}ka_{11}&ka_{12}&ka_{13}\\ka_{21}&ka_{22}&ka_{23}\\ka_{31}&ka_{32}&ka_{33}\end{array}\right]|\\\\|kA|=ka_{11}(ka_{22}ka_{33}-ka_{32}ka_{23})-ka_{12}(ka_{21}ka_{33}-ka_{31}ka_{23})+ka_{13}(ka_{21}ka_{32}-ka_{31}ka_{22})\\\\|kA|=ka_{11}(k^2a_{22}a_{33}-k^2a_{32}a_{23})-ka_{12}(k^2a_{21}a_{33}-k^2a_{31}a_{23})+ka_{13}(k^2a_{21}a_{32}-k^2a_{31}a_{22})$

$|kA|=k^3a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{32}a_{23})-k^3a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{31}a_{23})+k^3a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22})\\|kA|=k^3|A|$

Con lo que las igualdades A y C son falsas ya que termina siendo |2A|=8A.

Ahora bien, recordemos que el determinante del producto de matrices es igual al producto de los determinantes, tenemos:

$|AB| = |A||B|$

Como los determinantes son escalares:

$|A||B|=|B||A|\\|AB|=|A||B|=|B||A|$

Con lo que la afirmación D es verdadera pese a que el producto de matrices no es conmutativo.

Ahora tenemos que los determinantes de A y B son:

$|A|=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{32}a_{23})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{31}a_{23})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22})\\|B|=b_{11}(b_{22}b_{33}-b_{32}b_{23})-b_{12}(b_{21}b_{33}-b_{31}b_{23})+b_{13}(b_{21}b_{32}-b_{31}b_{22})$

Y la suma de ellos es:

$|A|+|B|=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{32}a_{23})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{31}a_{23})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22})+b_{11}(b_{22}b_{33}-b_{32}b_{23})-b_{12}(b_{21}b_{33}-b_{31}b_{23})+b_{13}(b_{21}b_{32}-b_{31}b_{22})$

Mientras que es:

$|A+B|=(a_{11}+b_{11})((a_{22}+b_{22})(a_{33}+b_{33})-(a_{32}+b_{32})(a_{23}+b_{23}))-(a_{12}+b_{12})((a_{21}+b_{21})(a_{33}+b_{33})-(a_{31}+b_{31})(a_{23}+b_{23}))+(a_{13}+b_{13})((a_{21}+b_{21})(a_{32}+b_{32})-(a_{31}b_{31})(a_{22}+b_{22}))$

Como vemos en la primera expresión no podemos sacar factores comunes $(a_{xy}+b_{xy})$ de modo que la afirmación B es falsa.