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1 Principio de homogeneidad
Una propiedad importante de las leyes físicas es que son homogéneas. Esto quiere decir que los dos miembros de una igualdad, o cada uno de los sumandos de una suma, deben ser del mismo tipo:
Una cantidad escalar será igual a otra cantidad escalar, por ejemplo
\rho = \frac{M}{V}
Una cantidad vectorial será igual a otra cantidad vectorial
\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}
pero nunca una cantidad escalar será igual a una vectorial. Por ejemplo, el momento de una fuerza es una cantidad cuya unidad SI es 1 N·m, y la energía cinética es una magnitud cuya unidad es 1 J = 1 N·m, pero, aunque se midan en las mismas unidades, el momento de una fuerza nunca puede ser igual a la energía cinética, pues la primera es una magnitud vectorial y la segunda es una escalar
\vec{r}\times\vec{F}\neq \frac{1}{2}mv^2
La energía cinética sí podrá ser igual al módulo del momento de la fuerza, que es una cantidad escalar
\left|\vec{r}\times\vec{F}\right| = \frac{1}{2}mv^2
2 Operaciones con magnitudes escalares
Las magnitudes escalares se comportan como números reales y por tanto admiten las operaciones básicas entre números: suma y multiplicación (con sus respectivas inversas y combinaciones entre ellas).
2.1 Suma
La suma de magnitudes escalares debe respetar el principio de homogeneidad dimensional, esto es, las magnitudes sumadas deben poseer las mismas dimensiones (no se puede sumar una distancia a un tiempo).
M=m_1+m_2+\cdots+m_n = \sum_{i=1}^n m_i
La suma de magnitudes escalares posee las propiedades habituales: conmutativa, asociativa, elemento neutro y elemento simétrico.
2.2 Producto
En el producto de magnitudes escalares, el resultado tiene por dimensiones el producto de las dimensiones de los diferentes factores. Así, por ejemplo la densidad de masa
\rho = \frac{m}{V}
pose dimensiones
[\rho]=\frac{[m]}{[V]} = \frac{M}{L^3}= M\cdot L^{-3}
y se medirá en el SI en kg/m³.
El producto de magnitudes escalares también posee las propiedades habituales: conmutativa, asociativa, elemento neutro y elemento simétrico.
Además, conjuntamente poseen la propiedad distributiva, que permite sacar factor común o quitar paréntesis, según el caso
\rho(V_1+V_2) = \rho V_1 + \rho V_2\,
3 Operaciones con magnitudes vectoriales
Las operaciones que pueden efectuarse entre magnitudes vectoriales entre sí y con magnitudes escalares, son más amplias y poseen propiedades específicas.
3.1 Suma de vectores
las magnitudes vectoriales pueden sumarse, siempre respetando el principio de homogeneidad dimensional (una fuerza puede sumarse con otra, pero no con una velocidad, por ejemplo).
\vec{F}_T = \vec{F}_1+\vec{F}_2
Gráficamente, la suma de magnitudes vectoriales puede definirse de dos formas equivalentes:
Colocándolos con el mismo origen: la suma vectorial será la diagonal del paralelogramo que definen (regla del paralelogramo).
Colocando uno a continuación del otro y uniendo el origen del primero con el extremo del segundo (regla del triángulo).
Archivo:suma-vectores-paralelogramo.png Archivo:suma-vectores-triangulo.png
Regla del paralelogramo Regla del triángulo
Esta suma así definida presenta las propiedades usuales de la suma: conmutativa, asociativa, elemento neutro y elemento simétrico.
La propiedad asociativa, junto con la regla del triángulo, permite sumar n vectores a base de formar una línea quebrada disponiendo los vectores en sucesión y uniendo el origen del primero con el extremo del último.
Archivo:suma-cuatro-vectores.png
Para que dos vectores ligados se puedan sumar, deben poseer el mismo punto de aplicación. No tiene significado sumar, por ejemplo, el campo eléctrico en un punto con el campo eléctrico en otro. Sí lo tiene sumar dos campos eléctricos aplicados sobre el mismo punto. Cuando los puntos de aplicación coinciden, el punto de aplicación de la suma será el mismo que el de los sumandos.