Question

3. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en x=1, estas funciones son funciones definidas por partes, tienen dos partes

3x si x ≤ 1
F(x) =
X + 2 si x…> 1


3x si x ≠ 1
G(x) =
1 si x = 1

Answer 1

Para que una función tenga continuidad en un punto $x=x_0$ tiene que estar la función definida en ese punto y además en ese mismo punto el límite tiene que existir y ser igual al valor de la función. Es decir, debe cumplirse que:

$\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)$

Para analizar la continuidad de la función F(x) vamos a verificar esta condición, teniendo en cuenta que en funciones definidas por tramos debe cumplirse que:

$\lim_{x \to x_0^+} f(x)=\lim_{x \to x_0^-} f(x)=f(x_0)$

Los primeros dos miembros de esta última expresión son los límites laterales, analizados en un entorno de x0 para elementos del dominio menores que x0 o para elementos mayores que x0. Este análisis es:

$\lim_{x \to 1+} f(x)=\lim_{x \to 1-} f(x)=f(1)\\\lim_{x \to 1+} x+2=\lim_{x \to x_0^-} 3x=3.1\\1+2=3.1=3.1\\3=3=3$

Con lo cual la función es continua en el punto x=1.

Ahora para la función G(x), tenemos:

$\lim_{x \to1} f(x)=f(1)\\ \lim_{x \to1} 3x=1$

La función no cumple la condición de continuidad por lo que la función tiene una discontinuidad de salto finito en x=1.