Question

Encontrar la ecuación de la trayectoria de un punto P(x,y) que se mueve de modo que su distancia al punto fijo (5,0) es la mitad de su distancia a la recta x= 20. Identificar la curva resultante, analizarla y dibujarla.

Answer 1

Según los datos que nos proporcionan la distancia del punto móvil al punto fijo (5,0) es siempre la mitad de la distancia a la recta x=20, la distancia a una recta se toma siempre en la dirección normal a esta. De modo que podemos pensar dos vectores posición relativa r (distancia a la recta) y q(distancia al punto):

$r=(x_r, 0)=(x-20,0)\\q=(x_p-5,y_p)=(x-5,y)$

Ahora tenemos que la distancia al punto es la mitad de la distancia a la recta:

$||r||=2||q||\\x-20=2\sqrt{(x-5)^2+y^2}$

Elevamos al cuadrado en ambos miembros:

$(x-20)^2=4((x-5)^2+y^2)$

Desglosamos los cuadrados:

$(x-20)^2=4((x-5)^2+y^2)\\x^2-40x+400=4(x^2-10x+25+y^2)\\x^2-40x+400=4x^2-40x+100+4y^2$

Reordenando los términos.

$x^2+400=4x^2+100+4y^2\\300=3x^2+4y^2$

Ecuación que se puede reescribir de esta forma:

$1=\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{75}$

Lo que nos da una elipse con centro en el origen y semiejes 10 y $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$, comprobando las condiciones del ejercicio, vemos que en y=0 es:

$1=\frac{x^2}{100}+\frac{0^2}{75}\\x^2=100\\x=\ñ10$

El punto x=10 está a 5 unidades del punto y 10 de la recta, mientras que x=-10 está a 30 unidades de la recta y 15 del punto. Ahora con x=0:

$1=\frac{0^2}{100}+\frac{y^2}{75}\\\\y^2=75\\y=\ñ\sqrt{75}$

La distancia OP (distancia al punto (5,0)) de ambos puntos de la curva es:

$OP=\sqrt{(\sqrt{75})^2+5^2}=10$

Y la distancia a la recta de ambos puntos:

$OR=x_r-x_O=20-0=20$

Con lo que la curva cumple las condiciones planteadas.

Resumiendo, la trayectoria es una elipse centrada en el origen y de semieje horizontal 10 y semieje vertical $5\sqrt{3}$. La gráfica de la curva se adjunta.