Question

un alambre uniforme de resistencia R se corta en 3 piezas de igual longitud. una de ellas se dobla en circulo y se conecta entre las otras dos, cual es la resistencia entre los extremos opuestos entre a y b

Answer 1

Si la resistencia del alambre es R y la longitud total es Lt, la resistencia es: $Req=R(\frac{2x}{L_t}+\frac{1}{12} )$ donde x es la distancia entre los terminales a y b y el punto donde se conecta el alambre doblado en círculo.

Desarrollo:

Si el alambre se corta en 3 piezas iguales y la resistencia está distribuida uniformemente, los 3 tramos tendrán una resistencia de:

$R_1=\frac{R}{3}$

En el caso del alambre que se dobla en círculo, si se mide la resistencia que queda entre dos puntos diametralmente opuestos, podemos decir que la resistencia que vamos a medir es la de dos resistencias en paralelo iguales a la mitad de la que tenía el tramo de alambre. En efecto:

$R_{Circ}=\frac{R_1}{2} //\frac{R_1}{2} =\frac{R}{6} //\frac{R}{6} \\\\R_{Circ}=\frac{\frac{R}{6}.\frac{R}{6}}{\frac{R}{6}+\frac{R}{6}}=\frac{R}{12}$

Nos dicen que el alambre que se dobla en círculo se conecta entre los otros dos pero no dice en qué posición. Nos queda la situación de la imagen adjunta. En la que el circuito se cierra por las dos RA y por el alambre doblado en círculo. Nos queda que:

$R_A=\frac{R_1}{L}.x=R_1\frac{x}{L}=R\frac{x}{3L}$

Donde L es la longitud de cada tramo de alambre y x la distancia de los bornes a y b donde conecto el alambre en círculo. La resistencia equivalente (al ser un circuito serie) es:

$R_{eq}=R_A+R_{circ}+R_A=2R_A + R_{circ}$

Reemplazando por las ecuaciones halladas:

$R_{eq}=2R_A + R_{circ}=2R\frac{x}{3L}+\frac{R}{12}=R(\frac{2x}{3L}+\frac{1}{12})$

Ahora en función de la longitud total del alambre Lt:

$L_t = 3L\\R_{eq}=R(\frac{2x}{3L}+\frac{1}{12})=R(\frac{2x}{L_t}+\frac{1}{12})$

Con lo que concluyo que la resistencia del circuito que queda es: $R_{eq}=R(\frac{2x}{L_t}+\frac{1}{12})$