Question

En los siguientes ejercicios encuentre la derivada direccional de la función dada en el punto indicado en la dirección señalada:

f(x,y,z)=√(x^2 y+2y^2 z) en P(2,-2,3),en la dirección de 6i+2j+3k

Answer 1

La derivada direccional de una función de varias variables es la derivada que se calcula en la dirección de un vector dado, y se define como:

$\frac{df}{dv}=\nabla f.v$

es decir el producto escalar entre el gradiente de la función y el vector en cuestión. Hallemos las derivadas parciales (que son las derivadas en función de cada variable individualmente, tomando las otras como constantes):

$\frac{df}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}y+2y^{2}z}}.2xy=\frac{xy}{\sqrt{x^{2}y+2y^{2}z}}\\\\\frac{df}{dy}=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}y+2y^{2}z}}.(x^{2}+4yz)=\frac{x^{2}+4yz}{2\sqrt{x^{2}y+2y^{2}z}}\\\\\frac{df}{dz}=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}y+2y^{2}z}}.(2y^{2})=\frac{y^{2}}{\sqrt{x^{2}y+2y^{2}z}}$

Con lo que el gradiente queda:

$\nabla f=(\frac{xy}{\sqrt{x^{2}y+2y^{2}z}};\frac{x^{2}+4yz}{2\sqrt{x^{2}y+2y^{2}z}};\frac{y^{2}}{\sqrt{x^{2}y+2y^{2}z}})$

Tenemos que realizar este producto escalar:

$\frac{df}{dv}=(\frac{xy}{\sqrt{x^{2}y+2y^{2}z}};\frac{x^{2}+4yz}{2\sqrt{x^{2}y+2y^{2}z}};\frac{y^{2}}{\sqrt{x^{2}y+2y^{2}z}}).\left[\begin{array}{c}6\\2\\3\end{array}\right] \\\\\frac{df}{dv}=\frac{6xy}{\sqrt{x^{2}y+2y^{2}z}}+\frac{2(x^{2}+4yz)}{2\sqrt{x^{2}y+2y^{2}z}}+\frac{3y^{2}}{\sqrt{x^{2}y+2y^{2}z}}=$

Ahora hallamos la derivada direccional en el punto P(2,-2,3)

$\frac{df(2,-2,3)}{dv}=\frac{6.2(-2)}{\sqrt{2^{2}(-2)+2(-2)^{2}.3}}+\frac{2(2^{2}+4(-2).3)}{2\sqrt{2^{2}(-2)+2(-2)^{2}.3}}+\frac{3(-2)^{2}}{\sqrt{2^{2}(-2)+2(-2)^{2}.3}}=\\\\\frac{df(2,-2,3)}{dv}=-\frac{24}{4}-\frac{20}{4}+\frac{12}{4}=-8$

Tenemos que la derivada en la dirección de (6,2,3) de la función en el punto P(2,-2,3) es -8.