Question

Dibujar una función que cumpla todas las siguientes condiciones:

Pasa por (0,0)

f′(x) = 0 para x = 1; f ′(x) ≠ 0 para x ≠ 1.

f′(x) > 0 para x< 1; f′(x) < 0 para x> 1.

f′′(x) < 0 para x< 2; f′′(x) > 0 si x > 2.

Answer 1

Para empezar a dibujar la función vamos a repasar las condiciones impuestas que hablan de como será el gráfico, de eso se trata el análisis de gráficos de funciones.

Pasa por (0,0): significa que pasa por el origen de modo que f(0) = 0.

f'(x)=0 para x=1, f'(x)≠0 para x≠1, bien, los puntos donde la derivada es cero se asocian con extremos. Que la derivada es cero solo para x=1 indica que el único extremo tiene que estar en x=1.

f'(x)>0 para x<1;f'(x)<0 para x>1, el signo de la derivada habla sobre la tendencia de la función, si la derivada es negativa en un punto, la función es decreciente en tal punto, si es positiva, nos dice que la función es creciente. Con lo que esto nos indica el intervalo de crecimiento $(-\infty,1)$ y de decrecimiento $(1,+\infty)$ lo que también deja entrever que x=1 alberga a un máximo.

f''(x)<0 para x<2; f''(x)>0 si x>2, el signo de la derivada segunda, da pista sobre la concavidad de la función, es decir hacia qué dirección en el eje de ordenadas la función es cóncava, si la derivada segunda es negativa, la función será cóncava hacia abajo, o sea hacia valores menores de y, si la derivada segunda es positiva, la función será cóncava hacia arriba. Se pueden dilucidar los intervalos de concavidad negativa en $(-\infty,2)$ y de concavidad positiva en $(2,\infty)$

Las funciones que cumplan con esas condiciones son infinitas. Pero con la información que nos dan podemos atinar a esbozar un gráfico de una posible función, lo cual se adjunta en la imagen A, se observa el máximo en x=1 y el cambio de concavidad en x=2.

Para la gráfica en Geogebra que se adjunta en la imagen B planteo la función (hallada por tanteo, puede ser cualquier otra en tanto pase por el origen tenga un máximo en x=1, sea cóncava hacia abajo en x<2 y cóncava hacia arriba en x>2):

$f(x)=\left \{ {{-x^2+2x, ~si~x<2} \atop {e^{4-2x}-1,~si~x>2}} \right.$

En dicha gráfica se observan el máximo en x=1 y el cambio de concavidad en x=2 y si se puede comprobar que verifica las condiciones iniciales que el problema planteaba.