• Asignatura: Física
  • Autor: MiiL3
  • hace 8 años

¿Cuál es la mínima rapidez de un electrón atrapado en un pozo cuadrado con profundidad infinita de 0.48 nm de ancho?

Respuestas

Respuesta dada por: LeonardoDY
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Para resolver este problema de pozo infinito, aplicamos la Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en una dimensión. Nos queda:

\frac{h^2}{8\pi^2 m}\nabla^2\psi(x)+E\psi(x)=0\\\\-\frac{h^2}{8\pi^2 m}\nabla^2\psi(x)=E\psi(x)

Donde h es la constante de Planck, \psi es la función de onda estacionaria, y E es la energía de la partícula. Ahora como es un pozo infinito la onda se anula fuera de él de modo que tenemos las siguientes condiciones de contorno:

\left \{ {{\psi(0)=0} \atop {\psi(L)=0}} \right.

Donde L es el ancho del pozo, como es cuadrado, L será el ancho en las dos dimensiones.

La ecuación diferencial homogenea a coeficientes constantes queda:

\frac{h^2}{8\pi^2 m}(\frac{d^2\psi}{dx^2})+E\psi(x)=0

Proponemos como solución:

\psi(x)=e^{\alpha x}

Reemplazamos:

\frac{h^2}{8\pi^2 m}(\alpha^2e^{\alpha x})+Ee^{\alpha x}=0\\\frac{h^2}{8\pi^2 m}(\alpha^2)+E=0

Resolviendo queda:

\alpha=\sqrt{-\frac{8\pi^2 mE}{h^2}} =\ñj\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h^2}}

Con lo que nuestra función de onda es:

\psi(x)=(C_1e^{j\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h^2}}}x+C_2e^{-j\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h^2}}x})

Si tenemos en cuenta que:

\psi(0)=(C_1e^{j\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h}}0}+C_2e^{-j\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h}}0})=0\\C_1=-C_2\\

Aplicando la Identidad de Euler:

\psi(x)=(C_1e^{j\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h}}x}-C_1e^{-j\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h}}x})\\\psi(x)=2C_1sen(\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h}}}x)

Ahora la integral de la densidad de probabilidad a lo largo de todo el pozo tiene que ser 1:

1=\int\limits^\infty_{-\infty} {|\psi^2(x)|} \, dx =4C_1^2\int\limits^L_0 {sen^2(kx)} \, dx =4C_1^2.\frac{L}{2}\\2C_1=\sqrt{\frac{2}{L}}

La función queda:

\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}sen(\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h^2}}}x)\\Pero\\\psi(L)=0=> \sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h^2}}}L=n\pi, n\epsilon Z

De la última condición salen las autofunciones:

\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}sen(\frac{n\pi}{L}}x)

Y los autovalores que son los únicos valores permitidos para la energía:

\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h^2}}}L=n\pi\\\\\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h^2}}}=\frac{n\pi}{L}\\\\\frac{8\pi^2 mE}{h^2}}=\frac{n^2\pi^2}{L^2}\\\\E=\frac{n^2\pi^2h^2}{8\pi^2 mL^2}=\frac{n^2 h^2}{8 mL^2}

El valor mínimo para la energía es para n=1, si consideramos que toda la energía es cinética, y que la masa del electrón es 9,11x10^{-31}kg tenemos:

E=\frac{n^2 h^2}{8 mL^2}\\\\E=\frac{1}{2}mv^2\\\\v=\sqrt{\frac{2\frac{n^2 h^2}{8 mL^2}}{m}}=\sqrt{\frac{n^2 h^2}{4 m^2L^2}}=\frac{n h}{2mL}=\frac{1. 6,62x10^{-34}Js}{2.9,11x10^{-31}kg.4,8x10^{-10}m}=7,57x10^5\frac{m}{s}

Con lo que la mínima rapidez para el electrón atrapado en un pozo infinito de 0,48nm de ancho es de 7,57x10^{5} \frac{m}{s}

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