¿Cuál es la mínima rapidez de un electrón atrapado en un pozo cuadrado con profundidad infinita de 0.48 nm de ancho?
Respuestas
Para resolver este problema de pozo infinito, aplicamos la Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en una dimensión. Nos queda:
Donde h es la constante de Planck, es la función de onda estacionaria, y E es la energía de la partícula. Ahora como es un pozo infinito la onda se anula fuera de él de modo que tenemos las siguientes condiciones de contorno:
Donde L es el ancho del pozo, como es cuadrado, L será el ancho en las dos dimensiones.
La ecuación diferencial homogenea a coeficientes constantes queda:
Proponemos como solución:
Reemplazamos:
Resolviendo queda:
Con lo que nuestra función de onda es:
Si tenemos en cuenta que:
Aplicando la Identidad de Euler:
Ahora la integral de la densidad de probabilidad a lo largo de todo el pozo tiene que ser 1:
La función queda:
De la última condición salen las autofunciones:
Y los autovalores que son los únicos valores permitidos para la energía:
El valor mínimo para la energía es para n=1, si consideramos que toda la energía es cinética, y que la masa del electrón es tenemos:
Con lo que la mínima rapidez para el electrón atrapado en un pozo infinito de 0,48nm de ancho es de