Question

jenifer necesita encerrar un terreno rectangular, si ella tiene 500 mt de alambre y se sabe que uno de los lados no requiere de cerca ¿cuáles son las dimensiones de este terreno para encontrar la mayor área posible? ​

Answer 1

En un área rectangular, el perímetro de esta es sean a y b las medidas de los lados, es:

$P=2a+2b$

Y el área es:

$A=ab$

Ahora bien, nos dicen que uno de los lados no necesita alambrado, queda:

$2a+b=500m$

Ya que uno de los lados de longitud b no se va a alambrar. Tengo que:

$b=500m-2a$

Reemplazando en la ecuación del área:

$A=a(500-2a)\\A=500a-2a^2$

Para hallar el área máxima tengo que hallar la derivada e igualarla a 0 (en esta ecuación el término cuadrático es negativo, por eso se que el único extremo de la función será un máximo). También se puede graficar A(a) y encontrar el punto donde está el máximo.

$\frac{dA}{dx}=500- 4a=0$

Me queda que es:

$a=125m.$

Ahora despejo b de la ecuación del perímetro a alambrar:

$2a+b=500m\\b=500m-2a\\b=500m-2.125m=250m.$

Con lo que tengo que las dimensiones del terreno que maximizan el área son 250x125 metros.