Considere el experimento que consiste en lanzar un par de dados. Suponga que lo relevante es la
suma de los puntos en las dos caras que caen hacia arriba.
a. ¿Cuántos puntos muestrales habrá? (Sugerencia: Use la regla de conteo para experimentos
de pasos múltiples.)
b. Enumere los puntos muestrales.
c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 7?
d. ¿De obtener un 9 o un número mayor?
e. Como en cada lanzamiento son factibles seis valores pares (2, 4, 6, 8, 10, y 12) y sólo cinco
impares (3, 5, 7, 9 y 11), se tendrán más veces resultados pares que impares. ¿Está de
acuerdo? Explique
f. ¿Qué método usó para calcular las probabilidades pedidas?
Respuestas
Al lanzar dos dados tendremos que hay que multiplicar el número de veces que se puede obtener un resultado en la cara superior, por lo tanto:
Habrán 36 puntos muestrales dentro del experimento.
En el enunciado B, nos pide los puntos muestrales, estos son:
- [¨1-1, 1-2, 1-3- 1-4, 1-5, 1-6, 2-1, 2-2, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 3-1, 3-2, 3-3, 3-4, 3-5, 3-6, 4-1, 4-2, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6, 5-1, 5-2, 5-3, 5-4, 5-5, 5-6, 6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6]
Esos serían nuestros puntos muestrales.
El enunciado C, nos pide obtener la probabilidad de obtener un 7, tenemos los siguientes valores:
- [1-6, 2-5, 3-4, 4-3, 5-2, 6-1]
La probabilidad sería de 6/36.
El enunciado D, nos pide obtener números mayores a 9 o iguales a 9, tenemos los siguientes valores:
- [3-6, 4-5, 4-6, 5-4, 5-5, 5-6, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6]
Por lo que tendríamos una probabilidad de 10/36.
En el enunciado E, decir que habrán más resultados impares que pares es incorrecto, puesto que si hay mayor incidencia entre números pares, esto quiere decir que habrán más resultados pares que impares, puesto que hay una mayor probabilidad de que esto suceda.
El método utilizado para el cálculo es la Regla de Laplace.
Para el experimento tomamos en cuenta el espacio muestral con 36 posibles resultados y realizamos un análisis para dar respuestas a las preguntas del enunciado
a) ¿Cuántos puntos tiene el espacio muestral?
El espacio muestral es el total de posibles resultados que se pueden obtener en un experimento
El espacio muestral depende de como lo veamos, pero para poder resolver el ejercicio es conveniente considerar el espacio muestral como los posibles resultados que se pueden obtener en cada caso, como cada caso tiene 6 posibilidades, tenemos que el espacio muestral es el producto de las posibilidades de cada caso, que es igual a:
6*6 = 36
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b) Enumere los puntos muestrales,
Los puntos muestrales son todos los elementos que tiene el espacio muestral y como consideramos los 36 casos, entonces los puntos muestrales serán los posibles resultados que son:
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (5,4) (6,5) (6,6)
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c) Probabilidad de obtener un 7
Recordemos que lo que se toma en cuenta es la suma de los dados, entonces observamos en la tabla de puntos muestrales, y las que suman 7 son (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) y (6,1) para un total de 6 casos, entonces las probabilidades las podemos determinar haciendo uso de la Regla de Laplace que nos dice que la probabilidad será los casos totales entre los favorables, entonces es:
P = 6/36 = 1/6
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d) De obtener un 9 o un número mayor
Calculemos los casos en que la suma es menor a 9, entonces estos casos son:
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
(5,1) (5,2) (5,3)
(6,1) (6,2)
Son 26 casos, entonces la probabilidad de que sea inferior a 9, es de:
26/36 = 13/18
Ahora la probabilidad de sea superior o igual a 9 es el complemento de la probabilidad anterior, que será uno menos la probabilidad anterior, por lo tanto es igual a:
1 - 13/18 = 5/18
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e) se tendrán más veces resultados pares que impares. ¿Está de acuerdo?
Los casos totales son iguales para todos, ahora los casos favorables debemos enumerarlos
Casos en que sale un número par: entonces los dos números son pares (2,4 o 6) o los dos impares (1,3,5) , estos son en total:
3*3 + 3*3 = 18
Casos impares: entonces un número es par y otro impar, esto es en total
2*3*3 = 18
Luego vemos que ambos eventos tienen los mismos casos totales, por lo tanto es igual la cantidad de resultados y no estoy de acuerdo con la proposición
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