Question

La gerencia de un banco está interesada en determinar la probabilidad de errores en las operaciones de depósito. Si se auditan 5 000 de estas operaciones, ¿cuál es la probabilidad de encontrar entre 10 y 15 operaciones con error? 1. Si se sabe que la probabilidad de cometer un error es de 0.005. 2. Si se sabe que la probabilidad de cometer un error es de 0.3. Justifica el uso el uso de las distribuciones normal o de Poisson como aproximación a la distribución real.

Answer 1

Solucionando el planteamiento tenemos:

1. 0,0278

2. 0,6829

3. El modelo apropiado para el análisis de muestras grandes (5000) es el Modelo de Poisson aproximando a la Distribución Normal. A pesar que la distribución de Poisson es discreta como la binomial (esto es,  los valores que puede tomar la variable aleatoria son números naturales), los casos posibles en teoría son infinitos y por lo tanto maneja un amplio tamaño muestral y además involucra la variable “tiempo” es decir, el número de ocurrencias (∞) de un fenómeno en un intervalo de tiempo o espacio. En consecuencia lo convierte en la mejor opción para obtener una mejor aproximación a la distribución real.

◘Desarrollo:

Datos

n=5000

Desviación: √n*p(1-p)= √25*(1-0,005)= 4,99

Media: n*p= 5000*0,005=25

$P(a<Z<b)= P(\frac{a-0,5-\mu}{\sigma}\leq Z \leq \frac{b+0,5-\mu}{\sigma})$

Sustituyendo:

$P(10<Z<15)= P(\frac{10-0,5-25}{4,99}\leq Z \leq \frac{15+0,5-25}{4,99})$

$P(10<Z<15)= P(-3,11 \leq Z \leq -1,90)$

$P(10<Z<15)= P(-3,11 \leq Z \leq -1,90)$

P(10<Z<15)= 0,0287-0,0009

P(10<Z<15)= 0,0278

2. p= 0,3

Desviación: √n*p(1-p)= √1500*(1-0,3)= 32,40

Media: n*p= 5000*0,3=1500

Sustituyendo:

$P(10<Z<15)= P(\frac{10-0,5-1500}{32,40}\leq Z \leq \frac{15+0,5-25}{4,99})$

$P(10<Z<15)= P(-3,11 \leq Z \leq -1,90)$

P(10<Z<15)= 0,0287-0,0009

P(10<Z<15)= 0,0278

2. p=0,3

Hallamos la proporción:

Probabilidad de encontrar 10= 10*100/5000= 0,2

Probabilidad de encontrar 15= 15*100/5000= 0,3

Desviación: √λ= √0,3= 0,5477

Sustituyendo:

$P(0,2<Z<0,3)= P(\frac{0,2-0,5-0,3}{0,5477}\leq Z \leq \frac{0,3+0,5-0,3}{0,5477})$

$P(10<Z<15)= P(-1,10 \leq Z \leq 0,91)$

P(10<Z<15)= 0,8185-0,1356

P(10<Z<15)= 0,6829