Question

una particula de1.18 kg de masa se une entre dos resortes identicos en una mesa horizontal sin friccion. ambos resortes k e inicialmente no estan estirados a. la particula se jala una distancia x a lo largo de una direccion perpendicular a la cinfiguracion inicial de los resortes, como se muestra en la figura demuestre que la figura ejercida por los resortes sobre la particula es f= 2kx (1- L/raiz de x^2 + L^2) i

Answer 1

En esta situación la partícula está sujeta por dos resortes idénticos que inicialmente no están estirados, y se ejerce una fuerza en una dirección x perpendicular a la línea de los resortes sin que haya fricción, como muestra la imagen adjunta.

La reacción será una fuerza elástica por parte de los dos resortes que vamos a analizar a continuación. Pues bien, la longitud en reposo de los resortes es L y la longitud cuando estos están dilatados es:

$L_2=\sqrt{L^2+x^2}$

La elongación de los resortes es:

$\Delta L=\sqrt{L^2+x^2}-L$

Y la fuerza elástica ejercida por cada uno de ellos es:

$F_{e1}=F_{e2}=k.\Delta L=k(\sqrt{L^2+x^2}-L)$

Tomemos la línea inicial de los resortes como eje horizontal. El resorte estirado forma un ángulo θ con el mismo. Sumando las dos fuerzas componente a componente nos queda:

$F_{Rx}=F_{e1}.cos(\theta)-F_{e2}.cos(\theta)=0\\F_{Ry}=F_{e1}.sen(\theta)+F_{e2}.sen(\theta)=2F_{e1}.sen(\theta)$

Como vimos las componentes horizontales se compensan, la fuerza resultante va en la misma dirección en que se traccionó la masa que es la perpendicular a la que tenían los resortes en reposo.

Viendo la figura y aplicando funciones trigonométricas, vemos que el resorte, la pared y un segmento imaginario que perpendicular a la pared une a esta con el extremo del resorte que está sujeto al cuerpo forman un triángulo rectángulo donde se cumple que:

$sen(\theta)=\frac{x}{\sqrt{L^2+x^2}}$

La fuerza resultante queda:

$F_{R}=2.F_{e1,2}.sen(\theta)=2.F_{e1,2}.\frac{x}{\sqrt{L^2+x^2}}$

Si reemplazamos la expresión de la fuerza elástica queda:

$F_{R}=2k(\sqrt{L^2+x^2}-L)\frac{x}{\sqrt{L^2+x^2}}$

Distribuyendo queda:

$F_{R}=2kx\frac{\sqrt{L^2+x^2}-L}{\sqrt{L^2+x^2}}=2kx(\frac{\sqrt{L^2+x^2}}{\sqrt{L^2+x^2}}-\frac{L}{\sqrt{L^2+x^2}})=\\\\F_{R}=2kx(1-\frac{L}{\sqrt{L^2+x^2}})$

Con lo que queda comprobada la ecuación inicialmente propuesta para la situación.