Respuestas
La distancia buscada es la que hay entre el punto P y el más próximo a la circunferencia.
Sigo el siguiente procedimiento.
1. Hallar las coordenadas del punto P
2. Hallar las coordenadas del centro de la circunferencia.
3. Hallar la ecuación de la recta por P y por el centro.
4. Hallar la intersección entre esta recta y la circunferencia. Se obtienen dos puntos.
5. Buscamos el más próximo al punto P, llamado R
La distancia buscada en la distancia entre P y R
Voy a omitir los pasos algebraicos elementales.
1. Hallar punto P
x + 2 y = 6; 3 x - y = 4; la solución es P(2, 4)
2. Centro de la circunferencia; buscamos la forma reducida de la ecuación, dividiendo por 2
x² + y² + 5/2 x - 3 y = 0
Las coordenadas del centro son las mitades de los coeficientes de x y de y, cambiados de signo.
C(- 5/4, 3/2)
3. Recta por P y el centro:
y - 4 = (4 -3/2) / (2 + 5/4) (x - 2); aproximamos
y - 4 = 0,77 (x - 2); despejamos y:
y = 0,77 x + 2,46
4. Intersección con la circunferencia:
x² + (0,77 x + 2,46)² + 5/2 x - 3 (0,77 x + 2,46) = 0
Es una ecuación de segundo grado en x. Quitamos paréntesis y aproximamos valores:
1,59 x² + 3,98 x - 1,32 = 0
Resultan x ≅ - 2,69; x ≅ 0,298 (el más cercano a P)
Reemplazamos x = 0,298 en la ecuación de la recta.
y ≅ 2,69
Punto de intersección: R(0,298; 2,69)
5. Distancia entre P y R
d = √[(2 - 0,298)² + (4 - 2,69)²] ≅ 2,15
Adjunto dibujo con los puntos encontrados. Como está a escala se puede medir la distancia hallada.
Mateo
