Question

Sea Z=f(x,y) definida implicitamente por 2zx^2-xz^2y^2-4y= -6 en un entorno de (-1,2,-1). Estudiar si Z tiene extremo en (-1,2)

Answer 1

En el punto solicitado la función no tiene un extremo, tiene un punto de ensilladura.

Explicación paso a paso:

Para determinar si una función tiene un extremo en un punto, sus derivadas parciales deben ser nulas en ese punto, no obstante, ese punto puede no ser un extremo, puede ser también un punto de ensilladura, llamados así por ser puntos donde la gráfica de la función toma la forma de una silla de montar. Hallamos las derivadas parciales, el método a emplear es el de derivadas implícitas, en las que la expresión se deriva tratando a z como función y a x e y como variables. Hacemos lo siguiente:

• Derivamos ambos miembros, pero en los términos que tienen a z aplico la regla de la cadena o la del producto según corresponda, tratando a z como una función en sí. Por ejemplo la derivada de $z^2$ será $2z.z'$ y la de $x^2z$ será aplicando regla de producto $2xz+x^2z'$
• De la expresión que obtendo saco z' factor común en los términos que contienen a z'.
• Despejo z'.

Si la función es:

$2zx^2-xz^2y^2-4y+6=0$

La derivada parcial en x queda:

$f'_x:2(z'_x.x^2+2zx)-y^2(z^2+2xzz'_x)=2z'_x.x^2+4xz-y^2z^2-2y^2xzz'_x=0\\2x^2z'_x-2y^2xzz'_x=y^2z^2-4xz\\z'_x(2x^2-2y^2xz)=y^2z^2-2xz\\z'_x=\frac{y^2z^2-4xz}{2x^2-2y^2xz}$

La derivada parcial en y queda:

$2zx^2-xz^2y^2-4y+6=0\\f'_y:2x^2z'_y-x(2zz'_y^2+2z^2y)-4=0\\f'_y:2x^2z'_y-2xzz'_y^2-2xz^2y-4=0\\\\f'_y:(2x^2-2xzy^2)z'_y-2xz^2y-4=0\\\\z'_y=\frac{4+2xz^2y}{2x^2-2xzy^2}$

Ahora bien, para comprobar que (-1,2,-1) es extremo, debemos asegurarnos que sea un punto crítico, es decir las derivadas parciales sean 0. Reemplazamos en las derivadas que acabamos de hallar:

$z'_x=\frac{y^2z^2-4xz}{2x^2-2y^2xz}\\z'_x(-1,2,-1)=\frac{2^2(-1)^2-4(-1)(-1)}{2(-1)^2-2.2^2(-1)(-1)}=0$

$z'_y=\frac{4+2xz^2y}{2x^2-2xzy^2}\\z'_y(-1,2,-1)=\frac{4+2(-1)(-1)^2.2}{2(-1)^2-2(-1)(-1)(2)^2}=0$

Tenemos que (-1,2) es un punto crítico. Pero no es condición suficiente para hablar de un extremo, para determinarlo hallamos el Hessiano. El Hessiano es el determinante de la matriz hessiana:

$H=\left[\begin{array}{cc}f''_{xx}&f''_{xy}\\f''_{yx}&f''_{yy}\end{array}\right]$

El Hessiano

$|H|=f''_{xx}.f''_{yy}-f''_{yx}.f''_{xy}$

debe ser positivo para concluir que la función tiene un extremo en ese punto. Hallemos las derivadas que necesitamos:

$z'_x=\frac{y^2z^2-4xz}{2x^2-2y^2xz}\\z''_{xx}=\frac{(-4z)(2x^2-2y^2xz)-(y^2z^2-4xz)(4x-2y^2z)}{(2x^2-2y^2xz)^2}\\z''_{xx}=\frac{8zx^2-4xy^2z^2+2y^4z^3}{(2x^2-2y^2xz)^2}$

$z'_x=\frac{y^2z^2-4xz}{2x^2-2y^2xz}\\z''_{xy}=\frac{(2yz^2)(2x^2-2y^2xz)-(y^2z^2-4xz)(-4yxz)}{(2x^2-2y^2xz)^2}\\z''_{xy}=\frac{4yx^2z^2-16yx^2z^2}{(2x^2-2y^2xz)^2}$

$z'_y=\frac{4+2xz^2y}{2x^2-2xzy^2}\\z''_{yx}=\frac{-4x^2z^2y-4xz^3y^3-16x+8xy^2+4x^2z^2y^3}{(2x^2-2xzy^2)^2}$

$z'_y=\frac{4+2xz^2y}{2x^2-2xzy^2}\\z''_{yy}=\frac{2xz^2(2x^2-2xzy^2)-(4+2xz^2y)(4xzy)}{(2x^2-2xzy^2)^2}\\z''_{yy}=\frac{4x^3z^2-12x^2z^3y^2}{(2x^2-2xzy^2)^2}$

En estas derivadas de segundo orden reemplazo las coordenadas del punto.

$z''_{xx}=\frac{8(-1)(-1)^2-4(-1)(2)^2(-1)^2+2(2)^4(-1)^3}{(2(-1)^2-2(2)^2(-1)(-1))^2}=\frac{-24}{36}=-\frac{2}{3}\\\\z''_{xy}=\frac{4yx^2z^2-16yx^2z^2}{(2x^2-2y^2xz)^2}=\frac{4(2)(-1)^2(-1)^2-16.2(-1)^2(-1)^2}{(2(-1)^2-2(2)^2(-1)(-1))^2}=\frac{-24}{36}=-\frac{2}{3}\\\\z''_{yx}=\frac{-4x^2z^2y-4xz^3y^3-16x+8xy^2+4x^2z^2y^3}{(2x^2-2xzy^2)^2}\\z''_{yx}=\frac{-4(-1)^2(-1)^2.2-4(-1)(-1)^3(-1)^3-16(-1)+8(-1)(2)^2+4(-1)^2(-1)^2(2)^3}{(2(-1)^2-2(-1)(-1)2^2)^2}=\frac{28}{36}=\frac{7}{9}$

$z''_{yy}=\frac{4x^3z^2-12x^2z^3y^2}{(2x^2-2xzy^2)^2}=\frac{4(-1)^3(-1)^2-12(-1)^2(-1)^3(2)^2}{(2(-1)^2-2(-1)(-1)(2)^2)^2}=\frac{44}{36} =\frac{11}{9}$

El Hessiano queda:

$|H|=f''_{xx}.f''_{yy}-f''_{yx}.f''_{xy}=-\frac{2}{3}.\frac{11}{9}-\frac{7}{9}(-\frac{2}{3}) =-\frac{8}{27}$

Con lo que podemos concluir que (-1,2,-1) es un punto de ensilladura. Por ende la función dada no tiene extremo en (-1,2,-1)