Question

a) De las rectas que se presentan a continuación, encuentre una recta L ortogonal:

Answer 1

Las rectas están expresadas en ecuaciones paramétricas lo que simplificará la tarea de hallar los vectores directores. Las coordendas de dichos vectores son los números que multiplican al parámetro en cada una, tenemos:

$v_1=(8,-6,2)\\v_2=(-4,2,-10)$

Ahora el director de una recta ortogonal será uno perpendicular a estos dos, para hallarlo recurrimos al producto vectorial.

$v_1xv_2=(8,-6,2)x(-4,2,-10)=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\8&-6&2\\-4&2&-10\end{array}\right] =i((-6).(-10)-2.2)-j(8(-10)-(-4).2)+k(8.2-(-4)(-6))=54i+72j-8k$

Con lo que (54,72,-8) es un vector director para la recta buscada. Ahora, este vector define a una familia de rectas que tienen la siguiente ecuación vectorial:

$(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+\lambda(54,72,-8), (x_0,y_0,z_0)\epsilon R^3,  \lambda\epsilon R$

con lo que el problema tendría infinitas soluciones, faltaría un punto que permita individualizar una recta. Para tomar un criterio veamos si las rectas tienen punto de intersección para hallar la recta que pase por él, para ello igualamos las ecuaciones paramétricas de cada una:

$4+8t=10-4s\\-4-6t=2+2s\\2+2t=-8-10s$

Sumando las 2 primeras ecuaciones y restando la tercera queda:

$4+8t-4-6t-2-2t=10-4s+2+2s+8+10s\\-2=20+8s\\s=\frac{9}{4}$

Con lo que tengo el valor de s (parámetro de la segunda recta) que me da el punto de intersección (podría hallar el t del punto de intersección también pero voy a llegar al mismo punto). Reemplazando:

$x=10-4\frac{9}{4};y=2+2\frac{9}{4};z=-8-10\frac{9}{4}\\(x,y,z)=(1,\frac{13}{2},-\frac{61}{2})$

En ese punto las rectas se intersecan, entonces la recta L ortogonal a las dos rectas dadas y que pasa por su punto de cruce es, en ecuaciones paramétricas:

$L_3: x=1+54m; y=\frac{13}{2}+72m; z=-\frac{61}{2}-8m$