Question

se quiere construir un vaso de papel conico que tenga un volumen de 150cm^3. calcula las dimensiones que requiere para utilizar la cantidad mínima de papel​

Answer 1

Buscaremos la base y la altura del cono.

La superficie lateral de un cono de altura h y radio de la base r es:

S = π r √(h² + r²)

El volumen del cono es V = 1/3 π r² h = 150

Despejamos r

r = √[450 / (π h)]; reemplazamos en S

S = π √[450 / (π h)] . √{[450 / (π h)] + h²}

Debemos derivar esta expresión respecto de h. Es un trabajo muy laborioso para llegar a:

S' = [15 √2 (π h³ - 900)[ / [2 h² √(π h³ + 450)]

La primera derivada debe ser nula: π h³ - 900 = 0

h = ∛(900 / π) ≅ 6,59 cm

Calculamos r: r ≅ 4,66 cm

Reemplazando en S: S ≅ 118,23 cm²

Se adjunta dibujo de la función S en función de h, con su punto crítico.

Mateo