Question

Encuentre las coordenadas del vector x relativas a la base ortonormal B y realice una grafica mostrando los resultados {(√5/5,(2√5)/5),(-(2√5)/5,√5/5)},X=(-3,4)

Answer 1

En toda base ortonormal, un vector se expresa como una combinación lineal entre los versores de dicha base ortonormal en la cual los coeficientes son las coordenadas del vector en dicha base. Así el vector (-3,4) se expresa como:

$(-3,4) = -3i + 4j= -3(1,0) + 4(0,1)$

Ahora si queremos encontrar las coordenadas en la nueva base ortonormal hacemos:

$a(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5})+b(-\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5})=(-3,4)$

Si desglosamos la ecuación nos queda:

$\frac{\sqrt{5}}{5}a-\frac{2\sqrt{5}}{5}b=-3\\\frac{2\sqrt{5}}{5}a+,\frac{\sqrt{5}}{5}b=4$

Nos queda resolver el sistema de ecuaciones, si lo hacemos por la Regla de Cramer nos queda:

$\Delta =\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{5}}{5}&-\frac{2\sqrt{5}}{5}\\\frac{2\sqrt{5}}{5}&\frac{\sqrt{5}}{5}\end{array}\right] =\frac{\sqrt{5}}{5}.\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}.\frac{2\sqrt{5}}{5}=1\\\\\Delta a =\left[\begin{array}{cc}-3&-\frac{2\sqrt{5}}{5}\\4&\frac{\sqrt{5}}{5}\end{array}\right] =-3.\frac{\sqrt{5}}{5}+4.\frac{2\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$

$\Delta b =\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{5}}{5}&-3\\\frac{2\sqrt{5}}{5}&4\end{array}\right] =4.\frac{\sqrt{5}}{5}+3.\frac{2\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}\\\\a=\frac{\Delta a}{\Delta}=\frac{\sqrt{5}}{1}=\sqrt{5}\\b=\frac{\Delta b}{\Delta}=\frac{2\sqrt{5}}{1}=2\sqrt{5}$

Con lo que las coordenadas del vector (-3,4) en la base ortonormal $\{(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}),(-\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5})\}$ son $(\sqrt{5},2\sqrt{5})$. Se adjunta la gráfica del vector expresado como combinación lineal de los versores de la base ortonormal dada.